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15计数原理与组合数学★★★★☆
四面体的顶点和各棱中点共 1010 个点，在其中取 44 个不共面的点，不同的取法共有（\quad）
A.
150150 种
B.
147147 种
C.
144144 种
D.
141141 种

1997 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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21数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 都是由正数组成的等比数列，公比分别为 pp，qq，其中 p>qp > q，且 p≠1p \neq 1，q≠1q \neq 1. 设 cn=an+bnc_{n} = a_{n} + b_{n}，SnS_{n} 为数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 nn 项和. 求 lim⁡n→∞SnSn−1\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{S_{n-1}}.

1997 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别是 BB1BB_{1}，CDCD 的中点.
(1) 证明：AD⊥D1FAD \perp D_{1}F； (2) 求 AEAE 与 D1FD_{1}F 所成的角； (3) 证明：面 AEDAED ⊥\perp 面 A1FD1A_{1}FD_{1}； (4) 设 AA1=2AA_{1} = 2，求三棱锥 F−A1ED1F - A_{1}ED_{1} 的体积.

1997 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24函数与初等函数★★★★☆
设二次函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^{2} + bx + c（a>0a > 0），方程 f(x)−x=0f(x) - x = 0 的两个根 x1x_{1}，x2x_{2} 满足 0<x1<x2<1a0 < x_{1} < x_{2} < \frac{1}{a}.
(1) 当 x∈(0,x1)x \in (0, x_{1}) 时，证明 x<f(x)<x1x < f(x) < x_{1}； (2) 设函数 f(x)f(x) 的图象关于直线 x=x0x = x_{0} 对称，证明 x0<x12x_{0} < \frac{x_{1}}{2}.

1997 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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25解析几何★★★★☆
设圆满足：
① 截 yy 轴所得弦长为 22； ② 被 xx 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3:13:1.
在满足上述两条件的所有圆中，求圆心到直线 l ⁣:x−2y=0l\colon x - 2y = 0 的距离最小的圆的方程.

1997 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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