设 $a$，$b$ 为异面二直线，$EF$ 为 $a$，$b$ 的公垂线，$\alpha$ 为过 $EF$ 中点且与 $a$，$b$ 平行的平面，$M$ 为 $a$ 上任一点，$N$ 为 $b$ 上任一点. 求证：线段 $MN$ 被平面 $\alpha$ 二等分. （注）“异面二直线”也叫“不共面二直线”.

若 $\triangle ABC$ 的内切圆半径为 $r$，求证 $BC$ 边上的高 $AD=\dfrac{2r\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{A}{2}}$.

(1) 求证：方程 $x^{3}-(\sqrt2+1)x^{2}+(\sqrt2-q)x+q=0$ 的一个根是 $1$. (2) 设这个方程的三个根是一个 $\triangle ABC$ 的三个内角的正弦 $\sin A$，$\sin B$，$\sin C$，求 $A$，$B$，$C$ 的度数及 $q$ 的数值.