已知点 $\left(1, \frac{1}{3}\right)$ 是函数 $f(x) = a^x$（$a > 0$，$a \neq 1$）的图象上一点. 等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $f(n) - c$. 数列 $\{b_n\}$（$b_n > 0$）的首项为 $c$，且前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n - S_{n-1} = \sqrt{S_n} + \sqrt{S_{n-1}}$（$n \ge 2$）.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 若数列 $\left\{\frac{1}{b_n b_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，问满足 $T_n > \frac{1000}{2009}$ 的最小正整数 $n$ 是多少？

已知二次函数 $y = g(x)$ 的导函数的图象与直线 $y = 2x$ 平行，且 $y = g(x)$ 在 $x = -1$ 处取得极小值 $m - 1$（$m \neq 0$）. 设 $f(x) = \frac{g(x)}{x}$.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 上的点 $P$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$，求 $m$ 的值； (2) $k$（$k \in \mathbf{R}$）如何取值时，函数 $y = f(x) - kx$ 存在零点，并求出零点.