如图，在直四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AB=AD=2$，$DC=2\sqrt{3}$，$AA_1=\sqrt{3}$，$AD\perp DC$，$AC\perp BD$，垂足为 $E$.

(1) 求证：$BD\perp A_1C$； (2) 求二面角 $A_1-BD-C_1$ 的大小； (3) 求异面直线 $AD$ 与 $BC_1$ 所成角的大小.

如图，直线 $l_1:y=kx$（$k>0$）与直线 $l_2:y=-kx$ 之间的阴影区域（不含边界）记为 $W$，其左半部分记为 $W_1$，右半部分记为 $W_2$.

(1) 分别用不等式组表示 $W_1$ 和 $W_2$； (2) 若区域 $W$ 中的动点 $P(x,y)$ 到 $l_1$，$l_2$ 的距离之积等于 $d^2$，求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程； (3) 设不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与（2）中的曲线 $C$ 相交于 $M_1$，$M_2$ 两点，且与 $l_1$，$l_2$ 分别交于 $M_3$，$M_4$ 两点. 求证：$\triangle OM_1M_2$ 的重心与 $\triangle OM_3M_4$ 的重心重合.