顾客请一位工艺师把 $A$，$B$ 两件玉石原料各制成一件工艺品. 工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间 （单位：工作日） 如下：

则最短交货期为______$\text{个工作日}$.

已知椭圆 $C: x^{2} + 2y^{2} = 4$.

(1) 求椭圆 $C$ 的离心率； (2) 设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在直线 $y = 2$ 上，点 $B$ 在椭圆 $C$ 上，且 $OA \perp OB$，求线段 $AB$ 长度的最小值.