如图，为处理含有某种杂质的水污染，要制造一底宽为 $2\text{ 米}$ 的无盖长方体沉淀箱，污水从 $A$ 汇流入，经沉淀后从 $B$ 汇流出. 设箱体的长度为 $a\text{ 米}$，高度为 $b\text{ 米}$. 已知流出的水中该杂质的质量分数与 $a$，$b$ 的乘积 $ab$ 成反比. 现有制箱材料 $60\text{ 平方米}$. 问当 $a$，$b$ 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. （$A$，$B$ 孔的面积忽略不计）

已知斜三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 的侧面 $A_{1}ACC_{1}$ 与底面 $ABC$ 垂直，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$BC = 2$，$AC = 2\sqrt{3}$，且 $AA_{1} \perp A_{1}C$，$AA_{1} = A_{1}C$.

(1) 求侧棱 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成角的大小； (2) 求侧面 $A_{1}ABB_{1}$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的大小； (3) 求顶点 $C$ 到侧面 $A_{1}ABB_{1}$ 的距离.

设曲线 $C$ 的方程是 $y = x^{3} - x$，将 $C$ 沿 $x$ 轴，$y$ 轴正向分别平行移动 $t$，$s$ 单位长度后得曲线 $C_{1}$.

(1) 写出曲线 $C_{1}$ 的方程； (2) 证明曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 关于点 $A\left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2}\right)$ 对称； (3) 如果曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 有且仅有一个公共点，证明 $s = \frac{t^{3}}{4} - t$ 且 $t \neq 0$.