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01三角函数★☆☆☆☆
sin⁡600∘\sin 600^{\circ} 的值是（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}

1998 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=a∣x∣y=a^{|x|}（a>1a>1）的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

1998 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★☆☆☆☆
曲线的极坐标方程 ρ=4sin⁡θ\rho = 4\sin \theta 化成直角坐标方程为（ ）
A.
x2+(y+2)2=4x^{2} + (y + 2)^{2} = 4
B.
x2+(y−2)2=4x^{2} + (y - 2)^{2} = 4
C.
(x−2)2+y2=4(x - 2)^{2} + y^{2} = 4
D.
(x+2)2+y2=4(x + 2)^{2} + y^{2} = 4

1998 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★☆☆☆☆
两条直线 A1x+B1y+C1=0A_{1}x + B_{1}y + C_{1} = 0，A2x+B2y+C2=0A_{2}x + B_{2}y + C_{2} = 0 垂直的充要条件是（ ）
A.
A1A2+B1B2=0A_{1}A_{2} + B_{1}B_{2} = 0
B.
A1A2−B1B2=0A_{1}A_{2} - B_{1}B_{2} = 0
C.
A1A2B1B2=−1\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = -1
D.
B1B2A1A2=1\frac{B_1B_2}{A_1A_2} = 1

1998 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}（x≠0x\neq 0）的反函数 f−1(x)=f^{-1}(x)=（ ）
A.
xx（x≠0x\neq 0）
B.
1x\frac{1}{x}（x≠0x\neq 0）
C.
−x-x（x≠0x\neq 0）
D.
−1x-\frac{1}{x}（x≠0x\neq 0）

1998 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★★☆☆
已知点 P(sin⁡α−cos⁡α,tan⁡α)P(\sin \alpha - \cos \alpha, \tan \alpha) 在第一象限，则在 [0,2π][0, 2\pi] 内 α\alpha 的取值范围是（ ）
A.
(π2,3π4)∪(π,5π4)\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)
B.
(π4,π2)∪(π,5π4)\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)
C.
(π2,3π4)∪(5π4,3π2)\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)
D.
(π4,π2)∪(3π4,π)\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

1998 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
已知圆锥的全面积是底面积的 33 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A.
120∘120^{\circ}
B.
150∘150^{\circ}
C.
180∘180^{\circ}
D.
240∘240^{\circ}

1998 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08复数★★★☆☆
复数 −i-\mathrm{i} 的一个立方根是 i\mathrm{i}，它的另外两个立方根是（ ）
A.
32±12i\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2}\mathrm{i}
B.
−32±12i-\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2}\mathrm{i}
C.
±32+12i\pm \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{i}
D.
±32−12i\pm \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}

1998 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★☆☆☆
如果棱台的两底面积分别是 SS，S′S'，中截面的面积是 S0S_0. 那么（ ）
A.
2S0=S+S′2\sqrt{S_0} = \sqrt{S} +\sqrt{S'}
B.
S0=SS′S_0 = \sqrt{SS'}
C.
2S0=S+S′2S_{0} = S + S^{\prime}
D.
S02=2SS′S_0^2 = 2SS'

1998 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
向高为 HH 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 VV 与水深 hh 的函数关系的图象如下图所示，那么水瓶的形状是（ ）
A.
B.
C.
D.

1998 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
33 名医生和 66 名护士被分配到 33 所学校为学生体检，每校分配 11 名医生和 22 名护士，不同的分配方法共有（ ）
A.
9090 种
B.
180180 种
C.
270270 种
D.
540540 种

1998 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
椭圆 x212+y23=1\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{3} = 1 的焦点为 F1F_{1} 和 F2F_{2}. 点 PP 在椭圆上，如果线段 PF1PF_{1} 的中点在 yy 轴上，那么 ∣PF1∣|PF_{1}| 是 ∣PF2∣|PF_{2}| 的（ ）
A.
77 倍
B.
55 倍
C.
44 倍
D.
33 倍

1998 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★★☆☆
球面上有 33 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 16\frac{1}{6}，经过这 33 个点的小圆的周长为 4π4\pi，那么这个球的半径为（ ）
A.
434\sqrt{3}
B.
232\sqrt{3}
C.
22
D.
3\sqrt{3}

1998 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14数列★★★☆☆
一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ ）
A.
arccos⁡5−12\arccos \frac{\sqrt{5} - 1}{2}
B.
arcsin⁡5−12\arcsin \frac{\sqrt{5} - 1}{2}
C.
arccos⁡1−52\arccos \frac{1 - \sqrt{5}}{2}
D.
arcsin⁡1−52\arcsin \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

1998 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
在等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1>1a_{1}>1，且前 nn 项和 SnS_{n} 满足 lim⁡n→∞Sn=1a1\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_{n}=\frac{1}{a_{1}}，那么 a1a_{1} 的取值范围是（ ）
A.
(1,+∞)(1, +\infty)
B.
(1,4)(1,4)
C.
(1,2)(1,2)
D.
(1,2)(1,\sqrt{2})

1998 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★★☆☆
设圆过双曲线 x29−y216=1\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______.

1998 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+2)10(x2−1)(x + 2)^{10}(x^{2} - 1) 的展开式中 x10x^{10} 的系数为______. （用数字作答）

1998 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
在直四棱柱 A1B1C1D1−ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}-ABCD 中，当底面四边形 ABCDABCD 满足条件______ 时，有 A1C⊥B1D1A_{1}C \perp B_{1}D_{1}. （注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

1998 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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19三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=4sin⁡(2x+π3)f(x)=4\sin \left(2x+\frac{\pi}{3}\right)（x∈Rx\in\mathbf{R}），有下列命题：
① 由 f(x1)=f(x2)=0f(x_{1})=f(x_{2})=0 可得 x1−x2x_{1}-x_{2} 必是 π\pi 的整数倍； ② 若 y=f(x)y=f(x) 的表达式可改写为 y=4cos⁡(2x−π6)y=4\cos \left(2x-\frac{\pi}{6}\right)； ③ y=f(x)y=f(x) 的图象关于点 (−π6,0)\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right) 对称； ④ y=f(x)y=f(x) 的图象关于直线 x=−π6x=-\frac{\pi}{6} 对称.
其中正确的命题的序号是______. （注：把你认为正确的命题的序号都填上）

1998 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 填空题

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20三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别是角 AA，BB，CC 的对边，设 a+c=2ba + c = 2b，A−C=π3A - C = \frac{\pi}{3}，求 sin⁡B\sin B 的值.

1998 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
如图，直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 相交于点 MM，l1⊥l2l_{1} \perp l_{2}，点 N∈l1N \in l_{1}，以 AA，BB 为端点的曲线段 CC 上的任一点到 l2l_{2} 的距离与到点 NN 的距离相等. 若 △AMN\triangle AMN 为锐角三角形，∣AM∣=17|AM| = \sqrt{17}，∣AN∣=3|AN| = 3，且 ∣BN∣=6|BN| = 6. 建立适当的坐标系，求曲线段 CC 的方程.

1998 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22不等式★★★★☆
如图，为处理含有某种杂质的水污染，要制造一底宽为 2 米2\text{ 米} 的无盖长方体沉淀箱，污水从 AA 汇流入，经沉淀后从 BB 汇流出. 设箱体的长度为 a 米a\text{ 米}，高度为 b 米b\text{ 米}. 已知流出的水中该杂质的质量分数与 aa，bb 的乘积 abab 成反比. 现有制箱材料 60 平方米60\text{ 平方米}. 问当 aa，bb 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. （AA，BB 孔的面积忽略不计）

1998 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★★☆
已知斜三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的侧面 A1ACC1A_{1}ACC_{1} 与底面 ABCABC 垂直，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}，BC=2BC = 2，AC=23AC = 2\sqrt{3}，且 AA1⊥A1CAA_{1} \perp A_{1}C，AA1=A1CAA_{1} = A_{1}C.
(1) 求侧棱 A1AA_{1}A 与底面 ABCABC 所成角的大小； (2) 求侧面 A1ABB1A_{1}ABB_{1} 与底面 ABCABC 所成二面角的大小； (3) 求顶点 CC 到侧面 A1ABB1A_{1}ABB_{1} 的距离.

1998 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24函数与初等函数★★★★☆
设曲线 CC 的方程是 y=x3−xy = x^{3} - x，将 CC 沿 xx 轴，yy 轴正向分别平行移动 tt，ss 单位长度后得曲线 C1C_{1}.
(1) 写出曲线 C1C_{1} 的方程； (2) 证明曲线 CC 与 C1C_{1} 关于点 A(t2,s2)A\left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2}\right) 对称； (3) 如果曲线 CC 与 C1C_{1} 有且仅有一个公共点，证明 s=t34−ts = \frac{t^{3}}{4} - t 且 t≠0t \neq 0.

1998 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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25数列★★★★★
已知数列 {bn}\{b_{n}\} 是等差数列，b1=1b_{1} = 1，b1+b2+⋯+b10=145b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{10} = 145.
(1) 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项 bnb_n； (2) 设数列 {an}\{a_{n}\} 的通项 an=log⁡a(1+1bn)a_n = \log_a \left(1 + \frac{1}{b_n}\right)（其中 a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1），记 SnS_n 是数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和. 试比较 SnS_n 与 13log⁡abn+1\frac{1}{3}\log_a b_n + 1 的大小，并证明你的结论.

1998 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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