已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 椭圆 $E$ 上的点到两焦点的距离之和为 $4$。

(1) 求椭圆 $E$ 的方程;

(2) 设 $O$ 为坐标原点, 点 $M(x_0, y_0)$ ($x_0 \ne 0$) 在椭圆 $E$ 上, 直线 $x_0x + 2y_0y - 4 = 0$ 与直线 $y = 2$, $y = -2$ 分别交于点 $A, B$。设 $\triangle OAM$ 和 $\triangle OBM$ 的面积分别为 $S_1, S_2$, 比较 $\frac{S_1}{S_2}$ 与 $\frac{|OA|}{|OB|}$ 的大小。

已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$), 焦点和短轴端点构成边长为 $2$ 的正方形。

(1) 求椭圆 $E$ 的方程及离心率; (2) 过 $(0, t)$ ($t > \sqrt{2}$) 的直线与椭圆交于 $A, B$, 直线 $AC$ ($C(0,1)$) 与椭圆交于 $D$。若 $BD$ 斜率为 $0$, 求 $t$。

已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, $A, C$ 分别是 $E$ 的上、下顶点, $B, D$ 分别是 $E$ 的左、右顶点, $|AC| = 4$。

(1) 求 $E$ 的方程；

(2) 设 $P$ 为第一象限内 $E$ 上的动点, 直线 $PD$ 与直线 $BC$ 交于点 $M$, 直线 $PA$ 与直线 $y = -2$ 交于点 $N$。求证: $MN \parallel CD$。