已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 长轴长为 $4$。

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 过点 $(0, -2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $O$ 为坐标原点。若 $\triangle OAB$ 的面积为 $\sqrt{2}$, 求 $|AB|$。

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{1}{2}$, 左焦点为 $F$, 右顶点为 $A$, 点 $P$ 在直线 $x = a$ 上, 直线 $FP$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$, $\triangle PFA$ 的面积为 $\frac{3}{2}$。

(1) 求椭圆的方程;

(2) 若过 $P$ 的直线与椭圆有唯一公共点 $B$ ($B$ 异于 $A$), 求证: $FP$ 平分 $\angle AFB$。

已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 椭圆 $E$ 上的点到两焦点的距离之和为 $4$。

(1) 求椭圆 $E$ 的方程;

(2) 设 $O$ 为坐标原点, 点 $M(x_0, y_0)$ ($x_0 \ne 0$) 在椭圆 $E$ 上, 直线 $x_0x + 2y_0y - 4 = 0$ 与直线 $y = 2$, $y = -2$ 分别交于点 $A, B$。设 $\triangle OAM$ 和 $\triangle OBM$ 的面积分别为 $S_1, S_2$, 比较 $\frac{S_1}{S_2}$ 与 $\frac{|OA|}{|OB|}$ 的大小。