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16概率与统计★★★★☆
有 6 个6\text{ 个} 相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中不放回地随机抽取 3 次3\text{ 次}，每次取 1 个1\text{ 个} 球. 记 mm 为前两次取出的球上数字的平均值，nn 为取出的三个球上数字的平均值，则 mm 与 nn 差的绝对值不超过 12\dfrac{1}{2} 的概率是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
已知某集合中的元素是不重复的数字组成的三位正整数，若该集合中任意两个数的积均为偶数，则该集合的元素个数的最大值为______.

2024 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
a1=2a_1=2，a2=4a_2=4，a3=8a_3=8，a4=16a_4=16，任意 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4∈Rb_4\in \mathbf{R}，满足 {ai+aj∣1≤i<j≤4}={bi+bj∣1≤i<j≤4}\{a_i+a_j\mid 1\le i<j\le 4\}=\{b_i+b_j\mid 1\le i<j\le 4\}，求有序数列 {b1,b2,b3,b4}\{b_1,b_2,b_3,b_4\} 有______ 对.

2024 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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126分数列★★★★☆
设正整数 n=a0⋅20+a1⋅21+⋯+ak⋅2kn=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots +a_k\cdot 2^k，其中 ai∈{0,1}a_i\in \{0,1\}，记 ω(n)=a0+a1+⋯+ak\omega\left( n \right)=a_0+a_1+\cdots +a_k. 则（ ）
\begin{answer} ACD \end{answer}
A.
ω(2n)=ω(n)\omega\left( 2n \right)=\omega\left( n \right)
B.
ω(2n+3)=ω(n)+1\omega\left( 2n+3 \right)=\omega\left( n \right)+1
C.
ω(8n+5)=ω(4n+3)\omega\left( 8n+5 \right)=\omega\left( 4n+3 \right)
D.
ω(2n−1)=n\omega\left( 2^n-1 \right)=n

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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12数列★★★★☆
00-11 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots 满足 ai∈{0,1}a_i\in\{0,1\}（i=1i=1，22，⋯\cdots），且存在正整数 mm，使得 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）成立，则称其为 00-11 周期序列，并称满足 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）的最小正整数 mm 为这个序列的周期. 对于周期为 mm 的 00-11 序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots，C(k)=1m∑i=1maiai+kC(k)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} a_i a_{i+k}（k=1k=1，22，⋯\cdots，m−1m-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为 55 的 00-11 序列中，满足 C(k)≤15C(k)\leq \dfrac{1}{5}（k=1k=1，22，33，44）的序列是（ ）
A.
11010⋯11010\cdots
B.
11011⋯11011\cdots
C.
10001⋯10001\cdots
D.
11001⋯11001\cdots

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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23概率与统计★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设点集 An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}，Bn={(0,1),(n,1)}B_n=\{(0,1),(n,1)\}，Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)}C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 令 Mn=An∪Bn∪CnM_n=A_n\cup B_n\cup C_n. 从集合 MnM_n 中任取两个不同的点，用随机变量 XX 表示它们之间的距离.
(1) 当 n=1n=1 时，求 XX 的概率分布； (2) 对给定的正整数 nn（n≥3n\ge 3），求概率 P(X≤n)P(X\le n)（用 nn 表示）.

2019 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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15立体几何初步★★★★☆
《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马. 设 AA1AA_1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA1AA_1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A.
44
B.
88
C.
1212
D.
1616

2018 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
设 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a6a_6 为 11，22，33，44，55，66 的一个排列，则满足 ∣a1−a2∣+∣a3−a4∣+∣a5−a6∣=3\lvert a_1-a_2\rvert+\lvert a_3-a_4\rvert+\lvert a_5-a_6\rvert=3 的不同排列的个数为______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
定义“规范 0101 数列”{an}\{a_n\} 如下：{an}\{a_n\} 共有 2m2m 项，其中 mm 项为 00，mm 项为 11，且对任意 k≤2mk\le2m，a1a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 中 00 的个数不少于 11 的个数. 若 m=4m=4，则不同的“规范 0101 数列”共有（ ）
A.
1818 个
B.
1616 个
C.
1414 个
D.
1212 个

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
(1) 求 7C63−4C747\mathrm C_6^3-4\mathrm C_7^4 的值； (2) 设 mm，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，n≥mn\ge m，求证： (m+1)Cmm+(m+2)Cm+1m+(m+3)Cm+2m+⋯+nCn−1m+(n+1)Cnm=(m+1)Cn+2m+2.(m+1)\mathrm C_m^m+(m+2)\mathrm C_{m+1}^m+(m+3)\mathrm C_{m+2}^m+\cdots+n\mathrm C_{n-1}^m+(n+1)\mathrm C_n^m=(m+1)\mathrm C_{n+2}^{m+2}.

2016 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
若集合 E={(p,q,r,s)∣0⩽p<s⩽4,0⩽q<s⩽4,0⩽r<s⩽4 且 p,q,r,s∈N}E = \{(p, q, r, s) \mid 0 \leqslant p < s \leqslant 4, 0 \leqslant q < s \leqslant 4, 0 \leqslant r < s \leqslant 4\text{ 且 }p, q, r, s \in \mathbf{N}\}，F={(t,u,v,w)∣0⩽t<u⩽4,0⩽v<w⩽4 且 t,u,v,w∈N}F = \{(t, u, v, w) \mid 0 \leqslant t < u \leqslant 4, 0 \leqslant v < w \leqslant 4\text{ 且 }t, u, v, w \in \mathbf{N}\}，用 card⁡(X)\operatorname{card}(X) 表示集合 XX 中元素个数，则 card⁡(E)+card⁡(F)=\operatorname{card}(E) + \operatorname{card}(F) =（ ）
A.
200200
B.
150150
C.
100100
D.
5050

2015 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
顾客请一位工艺师把 AA，BB 两件玉石原料各制成一件工艺品. 工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间 （单位：工作日） 如下：
则最短交货期为______个工作日\text{个工作日}.

2014 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
若集合 {a,b,c,d}={1,2,3,4}\{a, b, c, d\} = \{1, 2, 3, 4\}，且下列四个关系：
① a=1a = 1； ② b≠1b \neq 1； ③ c=2c = 2； ④ d≠4d \neq 4.
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 (a,b,c,d)(a, b, c, d) 的个数是______.

2014 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★★★☆
某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A.
7272
B.
120120
C.
144144
D.
168168

2014 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
当 x∈Rx \in \mathbf{R}，∣x∣<1|x| < 1 时，有如下表达式： 1+x+x2+⋯+xn+⋯=11−x1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} + \cdots = \frac{1}{1-x}. 两边同时积分得： ∫0121 dx+∫012x dx+∫012x2 dx+⋯+∫012xn dx+⋯=∫01211−x dx\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}\,\text{d}x + \cdots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n}\,\text{d}x + \cdots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x}\,\text{d}x， 从而得到如下等式： 1×12+12×(12)2+13×(12)3+⋯+1n+1×(12)n+1+⋯=ln⁡21 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \cdots = \ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： Cn0×12+12Cn1×(12)2+13Cn2×(12)3+⋯+1n+1Cnn×(12)n+1=‾\mathrm C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \mathrm C_{n}^{1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \mathrm C_{n}^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \mathrm C_{n}^{n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品. 已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
A.
1 或 3
B.
1 或 4
C.
2 或 3
D.
2 或 4

2012 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为 29∘C∼63∘C29^{\circ} \mathrm{C} \sim 63^{\circ} \mathrm{C}，精确度要求 ±1∘C\pm 1^{\circ} \mathrm{C}. 用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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15概率与统计★★★★☆
某艺校在一天的 66 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 11 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 11 节艺术课的概率为______.
\begin{answer} 35\frac{3}{5} \end{answer}
\begin{solution} 只考虑文化课和艺术课的类别排列即可. 三节文化课的位置从六个位置中选取，基本事件总数为
C63=20\mathrm C_{6}^{3}=20
设三节文化课之间的三段艺术课数分别为 g1g_{1}，g2g_{2}，并令两端的艺术课数为 g0g_{0}，g3g_{3}. 则 g0+g1+g2+g3=3g_{0}+g_{1}+g_{2}+g_{3}=3，g1g_{1}，g2∈{0,1}g_{2}\in\{0,1\}. 当 (g1,g2)=(0,0)(g_{1},g_{2})=(0,0) 时有 44 种；当恰有一个为 11 时有 3+3=63+3=6 种；当 (g1,g2)=(1,1)(g_{1},g_{2})=(1,1) 时有 22 种. 所以符合条件的排列有 4+6+2=124+6+2=12 种，所求概率为
1220=35\frac{12}{20}=\frac35
\end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
方程 ay=b2x2+cay = b^2 x^2 + c 中的 aa，bb，c∈{−3,−2,0,1,2,3}c \in \{-3, -2, 0, 1, 2, 3\}，且 aa，bb，cc 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A.
60 条
B.
62 条
C.
71 条
D.
80 条

2012 · 四川 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
方程 ay=b2x2+cay = b^2 x^2 + c 中的 aa，bb，c∈{−2,0,1,2,3}c \in \{-2, 0, 1, 2, 3\}，且 aa，bb，cc 互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A.
28 条
B.
32 条
C.
36 条
D.
48 条

2012 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
设 A(0,0)A(0,0)，B(4,0)B(4,0)，C(t+4,3)C(t + 4,3)，D(t,3)D(t,3)（t∈Rt \in \mathbf{R}）. 记 N(t)N(t) 为平行四边形 ABCDABCD 内部（不含边界）的整点的个数. 其中整点是指横，纵坐标都是整数的点，则 N(0)=N(0) =______；N(t)N(t) 的所有可能取值为______.

2011 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
设整数 n⩾4n\geqslant 4，P(a,b)P(a,b) 是平面直角坐标系 xOyxOy 中的点，其中 aa，b∈{1,2,3,…,n}b\in\{1,2,3,\dots,n\}，a>ba>b.
(1) 记 AnA_{n} 为满足 a−b=3a-b=3 的点 PP 的个数，求 AnA_{n}； (2) 记 BnB_{n} 为满足 13(a−b)\frac{1}{3}(a-b) 是整数的点 PP 的个数，求 BnB_{n}.

2011 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
对于 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，将 nn 表示为 n=a0×2k+a1×2k−1+a2×2k−2+⋯+ak−1×21+ak×20n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0. 当 i=0i = 0 时，ai=1a_i = 1，当 1⩽i⩽k1 \leqslant i \leqslant k 时，aia_i 为 0 或 1. 记 I(n)I(n) 为上述表示中 aia_i 为 0 的个数 （例如： 1=1×201 = 1 \times 2^0，4=1×22+0×21+0×204 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0，则 I(1)=0I(1) = 0，I(4)=2I(4) = 2），则
(1) I(12)=I(12) =______； (2) ∑n=11272I(n)=\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
在集合 {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 中任取一个偶数 aa 和一个奇数 bb 构成以原点为起点的向量 α=(a,b)\alpha = (a,b). 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量作为邻边作平行四边形. 记所有作成的平行四边形的个数为 nn，其中面积不超过 4 的平行四边形的个数为 mm，则 mn=\frac{m}{n}=（ ）
A.
415\frac{4}{15}
B.
13\frac{1}{3}
C.
25\frac{2}{5}
D.
23\frac{2}{3}

2011 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20计数原理与组合数学★★★★☆
设 dd 为非零实数，an=1n[Cn1d+2Cn2d2+⋯+(n−1)Cnn−1dn−1+nCnndn]a_{n} = \frac{1}{n}\left[\mathrm C_n^1d + 2\mathrm C_n^2d^{2} + \dots + (n - 1)\mathrm C_n^{n - 1}d^{n - 1} + n\mathrm C_n^nd^{n}\right] （n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 写出 a1a_1，a2a_2，a3a_3 并判断 {an}\{a_n\} 是否为等比数列. 若是，给出证明；若不是，说明理由； (2) 设 bn=ndanb_n = nda_n （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2011 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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