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06高考真题5分计数原理与组合数学★★★☆☆
甲、乙、丙、丁等 88 人分成 A, B 两技术小组，要求每组 44 人，且甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，共有多少种分配方案（ ）
A.
1010
B.
1212
C.
1616
D.
2424

2026全国二卷 · 第 6 题 · 选择题

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11高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+2y)4(x + 2y)^4 展开式中 x3yx^3y 的系数为 ______。

2026天津卷 · 第 11 题 · 填空题

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19高考真题17分数列★★★★★
已知等差数列 {an}\{a_n\} 与等比数列 {bn}\{b_n\} 满足：a1=2a_1 = 2，b1=1b_1 = 1，a2=b1+b2a_2 = b_1 + b_2，a4=b3−b1a_4 = b_3 - b_1。
(1) 求数列 {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的通项公式；
(2) 记 En={x∈R∣x≤n,∃k∈N∗,x=ak 或 x=bk}E_n = \{x \in R \mid x \le n, \exists k \in N^*, x = a_k \text{ 或 } x = b_k\}，记 cnc_n 为 EnE_n 中的元素个数。
(i) 求 c3nc_{3n}；
(ii) 求 ∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm\sum_{m=1}^{3n-1} (-1)^m \cdot a_m \cdot c_m。

2026天津卷 · 第 19 题 · 解答题

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04高考真题4分计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (2x−1)5(2x - 1)^5 的二项展开式中, x3x^3 项的系数为______。

2025上海卷 · 第 4 题 · 填空题

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09高考真题4分计数原理与组合数学★★☆☆☆
有 44 名家长和 22 名儿童去郊游爬山。若 66 个人要排成一队列, 要求队列的首和尾均是家长, 则不同的排列方式共有______种。

2025上海卷 · 第 9 题 · 填空题

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11高考真题5分计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (x−1)6(x - 1)^6 的展开式中, x3x^3 的系数为______。

2025天津卷 · 第 11 题 · 填空题

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12高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (1−2x)4=a0−2a1x+4a2x2−8a3x3+16a4x4(1 - 2x)^4 = a_0 - 2a_1x + 4a_2x^2 - 8a_3x^3 + 16a_4x^4, 则 a0=a_0 =______; a1+a2+a3+a4=a_1 + a_2 + a_3 + a_4 =______。

2025北京卷 · 第 12 题 · 填空题

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21高考真题15分计数原理与组合数学★★★★★
已知集合 A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}, M={(x,y)∣x∈A,y∈A}M = \{(x, y) \mid x \in A, y \in A\}。从 MM 中选取 nn 个不同的元素组成一个序列: (x1,y1),(x2,y2),⋯ ,(xn,yn)(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n), 其中 (xi,yi)(x_i, y_i) 称为该序列的第 ii 项 (i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, n), 若该序列的相邻项 (xi,yi),(xi+1,yi+1)(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1}) 满足 {∣xi+1−xi∣=3,∣yi+1−yi∣=4\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 3, \\ |y_{i+1} - y_i| = 4 \end{cases} 或 {∣xi+1−xi∣=4,∣yi+1−yi∣=3\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 4, \\ |y_{i+1} - y_i| = 3 \end{cases} (i=1,2,⋯ ,n−1i = 1, 2, \cdots, n-1), 则称该序列为 KK 列。
(1) 对于第 11 项为 (3,3)(3, 3) 的 KK 列, 写出它的第 22 项;
(2) 设 Γ\Gamma 为 KK 列, 且 Γ\Gamma 中的项 (xi,yi)(x_i, y_i) (i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, n) 满足: 当 ii 为奇数时, xi∈{1,2,7,8}x_i \in \{1, 2, 7, 8\}; 当 ii 为偶数时, xi∈{3,4,5,6}x_i \in \{3, 4, 5, 6\}, 判断 (3,2)(3, 2), (4,4)(4, 4) 能否同时为 Γ\Gamma 中的项, 并说明理由;
(3) 证明: 由 MM 的全部元素组成的序列都不是 KK 列。

2025北京卷 · 第 21 题 · 解答题

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04高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−x)4(x - \sqrt{x})^4 的展开式中, x3x^3 的系数为 ()(\quad)
A.
66
B.
−6-6
C.
1212
D.
−12-12

2024北京卷 · 第 4 题 · 选择题

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13高考真题5分计数原理与组合数学★★★☆☆
(13+x)10(\dfrac{1}{3} + x)^{10} 的展开式中, 各项系数中的最大值为______.

2024全国甲卷(理) · 第 13 题 · 填空题

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14高考真题5分计数原理与组合数学★★★★☆
在如图的 4×44 \times 4 的方格表中选 4 个方格, 要求每行和每列均恰有一个方格被选中, 则共有______种选法. 在所有符合上述要求的选法中, 选中方格中的 4 个数之和的最大值是______.
grid

2024新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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19高考真题17分数列★★★★★
设 mm 为正整数, 数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是公差不为 00 的等差数列, 若从中删去两项 aia_i 和 aj (i<j)a_j\ (i<j) 后剩余的 4m4m 项可被平均分为 mm 组, 且每组的 44 个数都能构成等差数列, 则称数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有的 (i,j)(i,j), 1≤i<j≤61 \le i < j \le 6, 使数列 a1,a2,…,a6a_1, a_2, \ldots, a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列;
(2) 当 m≥3m \ge 3 时, 证明: 数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列;
(3) 从 1,2,…,4m+21, 2, \ldots, 4m+2 中一次任取两个数 ii 和 j (i<j)j\ (i<j), 记数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m, 证明: Pm>18P_m > \frac{1}{8}.

2024新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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03高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行如图的程序框图，则输出的 B=B=（ ）
A.
2121
B.
3434
C.
5555
D.
8989

2023全国甲卷理科 · 第 3 题 · 选择题

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03高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
某学校初中部 400 人, 高中部 200 人, 按比例分层抽样抽取 60 人, 不同抽样结果共 （ ）
A.
C40045C20015C_{400}^{45}C_{200}^{15} 种
B.
C40020C20040C_{400}^{20}C_{200}^{40} 种
C.
C40030C20030C_{400}^{30}C_{200}^{30} 种
D.
C40040C20020C_{400}^{40}C_{200}^{20} 种

2023新高考II卷 · 第 3 题 · 选择题

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05高考真题4分计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (2x−1x)5(2x - \frac{1}{x})^5 的展开式中, xx 的系数为 （ ）
A.
−40-40
B.
4040
C.
−80-80
D.
8080

2023北京卷 · 第 5 题 · 选择题

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07高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
甲、乙两位同学从 66 种课外读物中各自选读 22 种, 则这两人选读的课外读物中恰有 11 种相同的选法共有 （ ）
A.
3030 种
B.
6060 种
C.
120120 种
D.
240240 种

2023全国乙卷(理) · 第 7 题 · 选择题

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09高考真题5分计数原理与组合数学★★★☆☆
现有 55 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这 55 人中安排 22 人参加公益活动，则恰有 11 人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A.
120120 种
B.
6060 种
C.
3030 种
D.
2020 种

2023全国甲卷理科 · 第 9 题 · 选择题

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10高考真题5分计数原理与组合数学★★★★☆
已知对任意给定的实数 xx, 都有 (1+2023x)100+(2023−x)100=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100(1 + 2023x)^{100} + (2023 - x)^{100} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{100} x^{100}.当 ak<0a_k < 0 时 (k∈{0,1,2,3,⋯ ,100}k \in \{0, 1, 2, 3, \cdots, 100\}), 正整数 kk 的最大值为______.

2023上海卷 · 第 10 题 · 填空题

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11高考真题5分计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(x+1x)6(\sqrt{x} + \frac{1}{x})^6 的常数项为______。

2023天津卷 · 第 11 题 · 填空题

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12高考真题5分计数原理与组合数学★★★★★
空间中有三个定点 AA、BB、CC, 且 AB=BC=CA=1AB = BC = CA = 1.若在空间中任取 22 个不同的点, 使得它们与 AA、BB、CC 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点, 则不同的取法共有______种.

2023上海卷 · 第 12 题 · 填空题

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13高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
4 门体育 + 4 门艺术共 8 门课, 选修 2 或 3 门且每类至少 1 门, 共______种方案。

2023新高考I卷 · 第 13 题 · 填空题

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14高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (2x−1x)6(2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^6 的展开式中常数项为______。

2023全国甲卷(文) · 第 14 题 · 填空题

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06高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行如图的程序框图, 输出的 n=n = （ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2022全国乙卷(理) · 第 6 题 · 选择题

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08高考真题4分计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(2x - 1)^4 = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0, 则 a0+a2+a4=a_0 + a_2 + a_4 = （ ）
A.
4040
B.
4141
C.
−40-40
D.
−41-41

2022北京卷 · 第 8 题 · 选择题

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13高考真题5分概率与统计★★☆☆☆
从甲、乙等 55 名同学中随机选 33 名参加社区服务工作, 则甲、乙都入选的概率为 ______.

2022全国乙卷(理) · 第 13 题 · 填空题

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