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10复数★★★★☆
设 m∈Rm\in\mathbf{R}，若 zz 是关于 xx 的方程 x2+mx+m2−1=0x^2+mx+m^2-1=0 的一个虚根，则 ∣z∣\lvert z\rvert 的取值范围是______.

2018 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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22复数★★★★☆
已知 zz 是实系数方程 x2+2bx+c=0x^2+2bx+c=0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为 Pz(Re⁡z,Im⁡z)P_z(\operatorname{Re} z,\operatorname{Im} z).
(1) 若 (b,c)(b,c) 在直线 2x+y=02x+y=0 上，求证：PzP_z 在圆 C1:(x−1)2+y2=1C_1:(x-1)^2+y^2=1 上； (2) 给定圆 C:(x−m)2+y2=r2C:(x-m)^2+y^2=r^2（mm，r∈Rr\in\mathbf{R}，r>0r>0），则存在唯一的线段 ss 满足：
① 若 PzP_z 在圆 CC 上，则 (b,c)(b,c) 在线段 ss 上； ② 若 (b,c)(b,c) 是线段 ss 上一点（非端点），则 PzP_z 在圆 CC 上.
写出线段 ss 的表达式，并说明理由； (3) 由第 22 问知线段 ss 与圆 CC 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中 s1s_1 是第 11 问中圆 C1C_1 的对应线段）.

2008 · 上海 · 春季 · 第 22 题 · 解答题

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22复数★★★★☆
已知复数 z0=1−miz_0 = 1 - m\mathrm{i}（m>0m > 0），z=x+yiz = x + y\mathrm{i} 和 ω=x′+y′i\omega = x' + y'\mathrm{i}，其中 xx，yy，x′x'，y′y' 均为实数，i\mathrm{i} 为虚数单位，且对于任意复数 zz，有 ω=z0‾⋅z‾\omega = \overline{z_0}\cdot\overline{z}，∣ω∣=2∣z∣|\omega| = 2|z|.
(1) 试求 mm 的值，并分别写出 x′x' 和 y′y' 用 xx，yy 表示的关系式； (2) 将 (x,y)(x, y) 作为点 PP 的坐标，(x′,y′)(x', y') 作为点 QQ 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点 PP 变到这一平面上的点 QQ，当点 PP 在直线 y=x+1y = x + 1 上移动时，试求点 PP 经该变换后得到的点 QQ 的轨迹方程； (3) 是否存在这样的直线：它上面的任一点经过上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.

2000 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20复数★★★★☆
设复数 z=3cos⁡θ+i⋅2sin⁡θz=3\cos\theta+\mathrm{i}\cdot 2\sin\theta，求函数 y=θ−arg⁡zy=\theta-\arg z（0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2}）的最大值以及对应的 θ\theta 值.

1999 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21复数★★★★☆
设复数 z=3cos⁡θ+i⋅2sin⁡θz=3\cos\theta+\mathrm{i}\cdot 2\sin\theta，求函数 y=θ−arg⁡zy=\theta-\arg z（0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2}）的最大值以及对应的 θ\theta 值.

1999 · 全国 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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18复数★★★★☆
设复数 z=3cos⁡θ+i⋅2sin⁡θz=3\cos\theta+\mathrm{i}\cdot 2\sin\theta，求函数 y=tan⁡(θ−arg⁡z)y=\tan(\theta-\arg z)（0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2}）的最大值以及对应的 θ\theta 值.

1999 · 广东 · 第 18 题 · 解答题

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24复数★★★★☆
设虚数 z1z_1，z2z_2 满足 z12=z2z_1^2=z_2.
(1) 若 z1z_1，z2z_2 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求 z1z_1，z2z_2； (2) 若 z1=1+miz_1=1+m\mathrm{i}（m>0m>0，i\mathrm{i} 为虚数单位），ω=z2−2\omega=z_2-2，ω\omega 的辐角主值为 θ\theta，求 θ\theta 的取值范围.

1997 · 上海 · 理 · 第 24 题（A） · 解答题

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26复数★★★★☆
设 z=a+biz=a+b\mathrm{i}（aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，b≠0b\neq0，i\mathrm{i} 为虚数单位），w=z+1zw=z+\frac{1}{z} 是实数，且 −1<w<2-1<w<2.
(1) 求 ∣z∣\left|z\right| 的值及 zz 的实部的取值范围； (2) 设 u=1−z1+zu=\frac{1-z}{1+z}. 求证：uu 为纯虚数； (3) 求 w−u2w-u^2 的最小值.

1996 · 上海 · 文 · 第 26 题（A） · 解答题

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28复数★★★★☆
设复数 z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta（0<θ<π0 < \theta < \pi），ω=1−(z‾)41+z4\omega = \frac{1 - \left( \overline{z} \right)^4}{1 + z^4}，已知 ∣ω∣=33|\omega| = \frac{\sqrt{3}}{3}，arg⁡ω=π2\arg \omega = \frac{\pi}{2}，求 θ\theta.

1993 · 全国 · 理 · 第 28 题 · 解答题

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29复数★★★★☆
设复数 z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta（0<θ<π0 < \theta < \pi），ω=1−(z‾)41+z4\omega = \frac{1 - \left( \overline{z} \right)^4}{1 + z^4}，已知 ∣ω∣=33|\omega| = \frac{\sqrt{3}}{3}，arg⁡ω=π2\arg \omega = \frac{\pi}{2}，求 θ\theta.

1993 · 全国 · 文 · 第 29 题 · 解答题

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28复数★★★★☆
设复数 z=cos⁡θ+isin⁡θz=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta（0<θ<π0<\theta<\pi），ω=1−(z‾)41+z4\omega=\frac{1-\left(\overline{z}\right)^4}{1+z^4}，并且 ∣ω∣=33|\omega|=\frac{\sqrt{3}}{3}，arg⁡ω<π2\arg \omega<\frac{\pi}{2}，求 θ\theta.

1993 · 京湘鄂云琼贵 · 理 · 第 28 题 · 解答题

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25复数★★★★☆
(1) 设复数 zz 的辐角为 θ\theta（0⩽θ<π0 \leqslant \theta < \pi），且满足等式 ∣z−i∣=1|z - \mathrm{i}| = 1，求复数 z2−ziz^2 - z\mathrm{i} 的辐角（用含 θ\theta 的式子表示），其中 i\mathrm{i} 为虚数单位； (2) 设复数 zz 满足等式 ∣z−i∣=1|z - \mathrm{i}| = 1，且 z≠0z \neq 0，z≠2iz \neq 2\mathrm{i}. 又复数 ω\omega 使得 ωω−2i⋅z−2iz\frac{\omega}{\omega - 2\mathrm{i}} \cdot \frac{z - 2\mathrm{i}}{z} 为实数. 问复数 ω\omega 在复平面上所对应的点 ZZ 的集合是什么图形，并说明理由.

1991 · 上海 · 第 25 题 · 解答题

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24复数★★★★☆
设 a⩾0a\geqslant 0，在复数集 C\mathbb C 中解方程：z2+2∣z∣=az^2+2|z|=a.

1990 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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25复数★★★★☆
设 a⩾0a\geqslant 0，在复数集 CC 中解方程：z2+2∣z∣=az^2+2\left| z \right|=a.

1990 · 全国 · 文 · 第 25 题 · 解答题

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27复数★★★★☆
复平面上点 AA，BB 对应的复数分别为 z1=2z_1=2，z2=−3z_2=-3，点 PP 对应的复数为 zz，z−z1z−z2\frac{z-z_1}{z-z_2} 的辐角主值为 φ\varphi. 当点 PP 在以原点为圆心，11 为半径的上半圆周（不包括两个端点）上运动时，求 φ\varphi 的最小值.

1990 · 上海 · 第 27 题 · 解答题

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26复数★★★★☆
设复数集合 M={z∣∣z−2+i∣⩽2, z∈C}∩{z∣∣z−2−i∣=∣z−4+i∣, z∈C}M=\left\{z\mid |z-2+\mathrm{i}|\leqslant 2,\ z\in \mathbf{C}\right\}\cap \left\{z\mid |z-2-\mathrm{i}|=|z-4+\mathrm{i}|,\ z\in \mathbf{C}\right\}.
(1) 试在复平面内作出表示集合 MM 的图形，并说出图形的名称； (2) 求集合 MM 中元素 zz 的辐角主值的范围； (3) 求集合 MM 中元素 zz 的模的范围.

1989 · 上海 · 第 26 题 · 解答题

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32复数★★★★☆
设 i\mathrm{i} 是虚数单位，复数 zz 和 ω\omega 满足 zω+2iz−2iω+1=0z\omega+2\mathrm{i} z-2\mathrm{i}\omega+1=0.
(1) 如果 zz 和 ω\omega 又满足 ω‾−z=2i\overline{\omega}-z=2\mathrm{i}，求 zz 和 ω\omega 的值； (2) 求证：如果 ∣z∣=3\left| z \right|=\sqrt{3}，那么 ∣ω−4i∣\left| \omega-4\mathrm{i} \right| 的值是一个常数，并求出这个常数.

1989 · 广东 · 理 · 第 32 题 · 解答题

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27复数★★★★☆
复数 z1z_1，z2z_2，z3z_3 的辐角分别为 α\alpha，β\beta，γ\gamma，又 ∣z1∣=1|z_1|=1，∣z2∣=k|z_2|=k，∣z3∣=2−k|z_3|=2-k，且 z1+z2+z3=0z_1+z_2+z_3=0. 问 kk 各为何值时，cos⁡(β−γ)\cos(\beta-\gamma) 分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值.

1988 · 上海 · 第 27 题 · 解答题

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20复数★★★★☆
设复数 z1z_1 和 z2z_2 满足关系式 z1z2‾+A‾z1+Az2‾=0z_1\overline{z_2} + \overline{A}z_1 + A\overline{z_2} = 0，其中 AA 为不等于 00 的复数. 证明：
(1) ∣z1+A∣∣z2+A∣=∣A∣2|z_1 + A||z_2 + A| = |A|^2； (2) z1+Az2+A=∣z1+Az2+A∣\frac{z_1 + A}{z_2 + A} = \left|\frac{z_1 + A}{z_2 + A}\right|.

1987 · 全国 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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29复数★★★★☆
设复平面上有一系列向量 OZn→\overrightarrow{OZ_n}（n=0n=0，11，22，…\dots）满足如下关系：将 OZn→\overrightarrow{OZ_n} 按逆时针方向旋转 34π\frac{3}{4}\pi 后，再把它的模变为原来的一半，得到 OZn+1→\overrightarrow{OZ_{n+1}}. 记 OZn→\overrightarrow{OZ_n} 所对应的复数为 znz_n（n=0n=0，11，22，…\dots），并设这一变换所对应的复数为 zz. 若 z0=22+22iz_0=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，求：
(1) zz； (2) nn 为何值时，znz_n 为实数？将所有等于实数的 znz_n 按原有次序排成数列 {an}\{a_n\}，写出该数列的通项公式； (3) lim⁡k→∞(a1+a2+⋯+ak)\displaystyle\lim_{k\to\infty}\left(a_1+a_2+\cdots+a_k\right).

1987 · 上海 · 第 29 题 · 解答题

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32复数★★★★☆
已知复数 z=cos⁡α+isin⁡αz = \cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha，u=cos⁡β+isin⁡βu = \cos \beta + \mathrm{i} \sin \beta，且 z+u=45+35iz + u = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}\mathrm{i}.
(1) 求 tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) 的值； (2) 求证：z2+u2+zu=0z^{2}+u^{2}+zu=0.

1987 · 广东 · 理 · 第 32 题 · 解答题

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33复数★★★★☆
已知 kk 为实数，复数 z=cos⁡θ+isin⁡θz=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta.
(1) 当 kk 和 θ\theta 分别为何值时，复数 z3+kz‾3z^3+k\overline{z}^3 是纯虚数； (2) 当 θ\theta 变化时，求出 ∣z3+kz‾3∣\left| z^3+k\overline{z}^3 \right| 的最大值和最小值.

1986 · 上海 · 理 · 第 33 题 · 解答题

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38复数★★★★☆
设 z=1−cos⁡α+isin⁡αz = 1 - \cos \alpha + \mathrm{i}\sin \alpha（0<α<π0 < \alpha < \pi）.
(1) 把 zz 表示成三角形式； (2) 设数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式是 bn=∣zn+1−zn∣b_n = |z^{n+1} - z^n|，求和：b1+b2+⋯+bnb_1 + b_2 + \cdots + b_n.

1986 · 广东 · 文 · 第 38 题 · 解答题

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14复数★★★★☆
设 OO 为复平面的原点，Z1Z_{1} 和 Z2Z_{2} 为复平面内的两动点，并且满足：
(1) Z1Z_{1} 和 Z2Z_{2} 所对应的复数的辐角分别为定值 θ\theta 和 −θ-\theta（0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2}）； (2) △OZ1Z2\triangle OZ_{1}Z_{2} 的面积为定值 SS，求 △OZ1Z2\triangle OZ_{1}Z_{2} 的重心 ZZ 所对应的复数的模的最小值.
\begin{solution} 设 Z1Z_1，Z2Z_2 和重心 ZZ 所对应的复数分别为 z1z_1，z2z_2 和 zz，并设 ∣z1∣=r1>0|z_1|=r_1>0，∣z2∣=r2>0|z_2|=r_2>0. 由辐角条件，z1=r1(cos⁡θ+isin⁡θ)z_1=r_1(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)，z2=r2(cos⁡θ−isin⁡θ)z_2=r_2(\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta). 三角形面积条件给出 S=12r1r2sin⁡2θS=\frac{1}{2}r_1r_2\sin 2\theta，所以 r1r2=Ssin⁡θcos⁡θr_1r_2=\frac{S}{\sin\theta\cos\theta}.
由于重心对应的复数满足 3z=z1+z23z=z_1+z_2，有 3z=(r1+r2)cos⁡θ+(r1−r2)isin⁡θ3z=(r_1+r_2)\cos\theta+(r_1-r_2)\mathrm{i}\sin\theta. 因此
∣3z∣2=(r1+r2)2cos⁡2θ+(r1−r2)2sin⁡2θ=(r1−r2)2+4r1r2cos⁡2θ|3z|^2=(r_1+r_2)^2\cos^2\theta+(r_1-r_2)^2\sin^2\theta=(r_1-r_2)^2+4r_1r_2\cos^2\theta
由 (r1−r2)2⩾0(r_1-r_2)^2\geqslant0，得 ∣3z∣2⩾4r1r2cos⁡2θ=4Scot⁡θ|3z|^2\geqslant4r_1r_2\cos^2\theta=4S\cot\theta. 当且仅当 r1=r2r_1=r_2 时取等号，且此时满足给定的面积条件，因此 ∣z∣|z| 的最小值为 23Scot⁡θ\frac{2}{3}\sqrt{S\cot\theta}. \end{solution}

1985 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 解答题

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09复数★★★★☆
(1) 证明：对于任意实数 tt，复数 z=∣cos⁡t∣+∣sin⁡t∣iz = \sqrt{|\cos t|} + \sqrt{|\sin t|}\mathrm{i} 的模 r=∣z∣r = |z| 适合 r⩽24r \leqslant \sqrt[4]{2}. (2) 当实数 tt 取什么值时，复数 z=∣cos⁡t∣+∣sin⁡t∣iz = \sqrt{|\cos t|} + \sqrt{|\sin t|}\mathrm{i} 的幅角主值 θ\theta 适合 0⩽θ⩽π40 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}？
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由复数模的定义，
r2=∣z∣2=∣cos⁡t∣+∣sin⁡t∣r^{2}=|z|^{2}=|\cos t|+|\sin t|
对非负数 u=∣cos⁡t∣u=|\cos t|，v=∣sin⁡t∣v=|\sin t|，由 (u−v)2⩾0(u-v)^{2}\geqslant0 得 u+v⩽2(u2+v2)u+v\leqslant\sqrt{2(u^{2}+v^{2})}. 因为 u2+v2=cos⁡2t+sin⁡2t=1u^{2}+v^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1，所以 r2⩽2r^{2}\leqslant\sqrt{2}，即 r⩽24r\leqslant\sqrt[4]{2}. 当且仅当 ∣cos⁡t∣=∣sin⁡t∣|\cos t|=|\sin t| 时取等号. \item zz 的实部和虚部均非负，且不同时为零，因此其幅角主值满足 0⩽θ⩽π20\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}. 在此范围内，
0⩽θ⩽π4  ⟺  ∣sin⁡t∣⩽∣cos⁡t∣  ⟺  ∣sin⁡t∣⩽∣cos⁡t∣0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{4}\iff \sqrt{|\sin t|}\leqslant\sqrt{|\cos t|}\iff |\sin t|\leqslant|\cos t|
若 cos⁡t=0\cos t=0，则 ∣sin⁡t∣=1>∣cos⁡t∣=0|\sin t|=1>|\cos t|=0，不满足上述不等式；若 cos⁡t≠0\cos t\neq0，则
∣sin⁡t∣⩽∣cos⁡t∣  ⟺  ∣tan⁡t∣⩽1|\sin t|\leqslant|\cos t|\iff |\tan t|\leqslant1
在每个区间 kπ−π2<t<kπ+π2k\pi-\frac{\pi}{2}<t<k\pi+\frac{\pi}{2} 内，tan⁡t\tan t 严格递增，因此 ∣tan⁡t∣⩽1|\tan t|\leqslant1 等价于 kπ−π4⩽t⩽kπ+π4k\pi-\frac{\pi}{4}\leqslant t\leqslant k\pi+\frac{\pi}{4}，k∈Zk\in\mathbf{Z}. \end{enumerate} \end{solution}

1983 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 解答题

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