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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=14x3−x2+xf(x)=\dfrac14x^3-x^2+x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率为 11 的切线方程； (2) 当 x∈[−2,4]x\in[-2,4] 时，求证：x−6≤f(x)≤xx-6\le f(x)\le x； (3) 设 F(x)=∣f(x)−(x+a)∣F(x)=\left|f(x)-(x+a)\right|（a∈Ra\in\mathbf{R}），记 F(x)F(x) 在区间 [−2,4][-2,4] 上的最大值为 M(a)M(a)，当 M(a)M(a) 最小时，求 aa 的值.

2019 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=14x3−x2+xf(x)=\dfrac14x^3-x^2+x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率为 11 的切线方程； (2) 当 x∈[−2,4]x\in\left[-2,4\right] 时，求证：x−6≤f(x)≤xx-6\le f(x)\le x； (3) 设 F(x)=∣f(x)−(x+a)∣F(x)=\lvert f(x)-(x+a)\rvert（a∈Ra\in\mathbf{R}），记 F(x)F(x) 在区间 [−2,4]\left[-2,4\right] 上的最大值为 M(a)M(a)，当 M(a)M(a) 最小时，求 aa 的值.

2019 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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14导数及其应用★★★★☆
设函数
f(x)={x3−3x,x≤a,−2x,x>a.f(x)=\begin{cases} x^3-3x, & x\le a,\\ -2x, & x>a. \end{cases}
(1) 若 a=0a=0，则 f(x)f(x) 的最大值为______； (2) 若 f(x)f(x) 无最大值，则实数 aa 的取值范围是______.

2016 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡1+x1−xf(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 求证：当 x∈(0,1)x\in(0,1) 时，f(x)>2(x+x33)f(x)>2\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)； (3) 设实数 kk 使得 f(x)>k(x+x33)f(x)>k\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right) 对 x∈(0,1)x\in(0,1) 恒成立，求 kk 的最大值.

2015 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x22−kln⁡xf(x) = \frac{x^2}{2} - k\ln x，k>0k > 0.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间和极值； (2) 证明：若 f(x)f(x) 存在零点，则 f(x)f(x) 在区间 (1,e](1, \sqrt{\mathrm{e}}] 上仅有一个零点.

2015 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=xcos⁡x−sin⁡xf(x) = x\cos x - \sin x，x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right].
(1) 求证：f(x)⩽0f(x) \leqslant 0. (2) 若 a<sin⁡xx<ba < \frac{\sin x}{x} < b 在 (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) 上恒成立，求 aa 的最大值与 bb 的最小值.

2014 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x2+xsin⁡x+cos⁡xf(x) = x^2 + x \sin x + \cos x.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (a,f(a))(a, f(a)) 处与直线 y=by = b 相切，求 aa 与 bb 的值； (2) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 与直线 y=by = b 有两个不同交点，求 bb 的取值范围.

2013 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax2+1f(x)=ax^2+1（a>0a>0），g(x)=x3+bxg(x)=x^3+bx.
(1) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与曲线 y=g(x)y=g(x) 在它们的交点 (1,c)(1,c) 处具有公共切线，求 aa，bb 的值； (2) 当 a2=4ba^2=4b 时，求函数 f(x)+g(x)f(x)+g(x) 的单调区间，并求其在区间 (−∞,−1](-\infty,-1] 上的最大值.

2012 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−k)2exkf(x) = (x - k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若对于任意的 x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)，都有 f(x)⩽1ef(x) \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}}，求 kk 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由于 k≠0k\ne0，求导得 f′(x)=2(x−k)exk+1k(x−k)2exk=exkk(x−k)(x+k)f'(x)=2(x-k)\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}+\dfrac1k(x-k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}=\dfrac{\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}}{k}(x-k)(x+k). 因 exk>0\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}>0，只需讨论 (x−k)(x+k)k\dfrac{(x-k)(x+k)}k 的符号.
当 k>0k>0 时，f′(x)>0f'(x)>0 在 (−∞,−k)(-\infty,-k) 和 (k,+∞)(k,+\infty) 上成立，f′(x)<0f'(x)<0 在 (−k,k)(-k,k) 上成立. 因此递增区间为 (−∞,−k)(-\infty,-k)、(k,+∞)(k,+\infty)，递减区间为 (−k,k)(-k,k).
当 k<0k<0 时，因分母 kk 为负，符号相反，故递减区间为 (−∞,k)(-\infty,k)、(−k,+∞)(-k,+\infty)，递增区间为 (k,−k)(k,-k). \item 若 k>0k>0，则当 x→+∞x\to+\infty 时，(x−k)2exk→+∞(x-k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}\to+\infty，不可能对所有 x>0x>0 有 f(x)\leqslant\dfrac1\mathrm{e}.
令 k=−ak=-a，其中 a>0a>0. 此时 f(x)=(x+a)2e−xaf(x)=(x+a)^2\mathrm{e}^{-\frac{x}{a}}，且 f′(x)=e−xaa(a−x)(a+x)f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-\frac{x}{a}}}a(a-x)(a+x). 所以 ff 在 (0,a)(0,a) 上递增，在 (a,+∞)(a,+\infty) 上递减，最大值为 f(a)=4a2ef(a)=\dfrac{4a^2}{\mathrm{e}}. 要使最大值不超过 \dfrac1\mathrm{e}，必须且只需 4a2⩽14a^2\leqslant1，即 0<a⩽120<a\leqslant\dfrac12. 因此 −12⩽k<0-\dfrac12\leqslant k<0. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+k2x2f(x) = \ln\left(1 + x\right) - x + \frac{k}{2}x^2 （k⩾0k \geqslant 0）.
(1) 当 k=2k=2 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 求 f(x)f(x) 的单调区间.

2010 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r2r，短半轴长为 rr. 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 ABAB 是半椭圆的短轴，上底 CDCD 的端点在椭圆上，记 CD=2xCD = 2x，梯形面积为 SS.
(1) 求面积 SS 以 xx 为自变量的函数式，并写出其定义域. (2) 求面积 SS 的最大值.

2007 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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