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16
高考真题
15分
数列
★★★★☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
中,
a
1
=
3
,
a
n
+
1
n
=
a
n
n
+
1
+
1
n
(
n
+
1
)
a_1 = 3, \frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}
a
1
=
3
,
n
a
n
+
1
=
n
+
1
a
n
+
n
(
n
+
1
)
1
。
(1) 证明: 数列
{
n
a
n
}
\{na_n\}
{
n
a
n
}
是等差数列;
(2) 给定正整数
m
m
m
, 设函数
f
(
x
)
=
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
f(x) = a_1x + a_2x^2 + \dots + a_mx^m
f
(
x
)
=
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
, 求
f
′
(
−
2
)
f'(-2)
f
′
(
−
2
)
。
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16
高考真题
15分
数列
★★★★☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
中，
a
1
=
3
a_1=3
a
1
=
3
，
a
n
+
1
n
=
a
n
n
+
1
+
1
n
(
n
+
1
)
\dfrac{a_{n+1}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}
n
a
n
+
1
=
n
+
1
a
n
+
n
(
n
+
1
)
1
。
（1）证明：数列
{
n
a
n
}
\{na_n\}
{
n
a
n
}
是等差数列；
（2）给定正整数
m
m
m
，设函数
f
(
x
)
=
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
f(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m
f
(
x
)
=
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
，求
f
′
(
−
2
)
f'(-2)
f
′
(
−
2
)
。
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19
高考真题
14分
导数及其应用
★★★★☆
设
m
∈
R
m \in \mathbb{R}
m
∈
R
,
f
(
x
)
=
x
2
−
(
m
+
2
)
x
+
m
ln
x
f(x) = x^2 - (m + 2)x + m \ln x
f
(
x
)
=
x
2
−
(
m
+
2
)
x
+
m
ln
x
。
(1) 若
f
(
1
)
=
0
f(1) = 0
f
(
1
)
=
0
, 求不等式
f
(
x
)
≤
x
2
−
1
f(x) \le x^2 - 1
f
(
x
)
≤
x
2
−
1
的解集;
(2) 若
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
在区间
(
0
,
+
∞
)
(0, +\infty)
(
0
,
+
∞
)
上存在极大值, 求
m
m
m
的取值范围。
2025上海卷 · 第 19 题 · 解答题
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