已知 $M = \{(x, y) \mid y = x + t(x^2 - x), 1 \leqslant x \leqslant 2, 0 \leqslant t \leqslant 1\}$ 是平面直角坐标系中的点集。设 $d$ 是 $M$ 中两点间的距离的最大值, $S$ 是 $M$ 表示的图形的面积, 则 $(\quad)$

设函数 $f(x) = (x-1)^2(x-4)$, 则 ( )

当 $x > 0$ 时, 曲线 $y = x^3 - 3x$ 与曲线 $y = -(x - 1)^2 + a$ 有两个交点, 则 $a$ 的取值范围是______.

某公园欲建设一段斜坡, 斜坡面是一平面, 坡面与水平地面所成角为 $\theta$, 坡顶距水平地面的高度为 $4$ m.游客从坡底沿着斜坡面向上直行, 每走 $1$ m 消耗的体力为 $1.025 - \cos\theta$.当 $\theta =$______ 时, 游客走斜坡所消耗的体力最小.