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共找到 75 题
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16导数及其应用★★★★☆
设 a∈(0,1)a\in(0,1)，若函数 f(x)=ax+(1+a)x+1f(x)=a^x+(1+a)^{x+1} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，则 aa 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
已知 9m=109^m=10，a=10m−11a=10^m-11，b=8m−9b=8^m-9，则（ ）
A.
a>0>ba>0>b
B.
a>b>0a>b>0
C.
b>a>0b>a>0
D.
b>0>ab>0>a

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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18指数函数与对数函数★★★★☆
设 aa 为常数，f(x)=log⁡3(a+x)+log⁡3(6−x)f(x)=\log_3(a+x)+\log_3(6-x).
(1) 若将函数 y=f(x)y=f(x) 的图像向下平移 mm（m>0m>0）个单位后，其图像经过 (3,0)(3,0)，(5,0)(5,0) 两点，求实数 aa 和 mm 的值； (2) 若 a>−3a>-3 且 a≠0a\ne0，解不等式 f(x)≤f(6−x)f(x)\le f(6-x).

2022 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
设 a=2ln⁡1.01a=2\ln 1.01，b=ln⁡1.02b=\ln 1.02，c=1.04−1c=\sqrt{1.04}-1，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<c<ab<c<a
C.
b<a<cb<a<c
D.
c<a<bc<a<b

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣lg⁡x∣−kx−2f(x)=|\lg x|-kx-2. 给出下列四个结论：
① 当 k=0k=0 时，f(x)f(x) 恰有 22 个零点； ② 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 11 个零点； ③ 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点； ④ 存在正数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点.
其中所有正确结论的序号是______.

2021 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln(y-x+1)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln(y-x+1)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln\lvert x-y\rvert>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln\lvert x-y\rvert<0

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
已知 55<845^5<8^4，134<8513^4<8^5. 设 a=log⁡53a=\log_5 3，b=log⁡85b=\log_8 5，c=log⁡138c=\log_{13} 8，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<a<cb<a<c
C.
b<c<ab<c<a
D.
c<a<bc<a<b

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
设 a=log⁡0.20.3a=\log_{0.2}0.3，b=log⁡20.3b=\log_20.3，则（ ）
A.
a+b<ab<0a+b<ab<0
B.
ab<a+b<0ab<a+b<0
C.
a+b<0<aba+b<0<ab
D.
ab<0<a+bab<0<a+b

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★★☆
已知常数 a>0a>0，函数 f(x)=2x2x+axf(x)=\frac{2^x}{2^x+ax} 的图像经过点 P(p,65)P\left(p,\frac65\right)，Q(q,−15)Q\left(q,-\frac15\right). 若 2p+q=36pq2^{p+q}=36pq，则 a=a=______.

2018 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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21指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 f(x)=log⁡21+x1−xf(x)=\log_2\dfrac{1+x}{1-x}.
(1) 解方程 f(x)=1f(x)=1； (2) 设 x∈(−1,1)x\in(-1,1)，a∈(1,+∞)a\in(1,+\infty)，证明：ax−1a−x∈(−1,1)\dfrac{ax-1}{a-x}\in(-1,1)，且 f ⁣(ax−1a−x)−f(x)=−f ⁣(1a)f\!\left(\dfrac{ax-1}{a-x}\right)-f(x)=-f\!\left(\dfrac1a\right)； (3) 设数列 {xn}\{x_n\} 中，x1∈(−1,1)x_1\in(-1,1)，xn+1=(−1)n+13xn−13−xnx_{n+1}=(-1)^{n+1}\dfrac{3x_n-1}{3-x_n}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，求 x1x_1 的取值范围，使得 x3≥xnx_3\ge x_n 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 成立.

2017 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=5a=5 时，解不等式 f(x)>0f(x)>0； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)−log⁡2[(a−4)x+2a−5]=0f(x)-\log_2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的取值范围； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值和最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=1a=1 时，解不等式 f(x)>1f(x)>1； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)+log⁡2(x2)=0f(x)+\log_2(x^2)=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的值； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值与最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______. （写出所有真命题的序号）
\begin{solution} 先化简
n=x12−x22+a(x1−x2)x1−x2=x1+x2+an=\frac{x_1^2-x_2^2+a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}=x_1+x_2+a
因为 2x2^x 在 R\mathbf{R} 上严格递增，所以 x1≠x2x_1\ne x_2 时 m>0m>0，命题 1 为真. 命题 2 不真，例如取 a=0a=0，x1=−2x_1=-2，x2=−1x_2=-1，则 n=−3<0n=-3<0.
命题 3 也不真. 取 a=−10a=-10，记 s=x1+x2s=x_1+x_2，d=x1−x2≠0d=x_1-x_2\ne0，则
m=2s22d2−2−d2d>(ln⁡2)2s2m=2^{\frac{s}{2}}\frac{2^{\frac{d}{2}}-2^{-\frac{d}{2}}}{d}>(\ln2)2^{\frac{s}{2}}
若 s⩽10s\leqslant10，则 n=s−10⩽0<mn=s-10\leqslant0<m. 若 s>10s>10，函数 (ln⁡2)2s2−(s−10)(\ln2)2^{\frac{s}{2}}-(s-10) 的导数在 [10,+∞)[10,+\infty) 上为正，因此该函数递增且在 s=10s=10 时为正，所以仍有 m>s−10=nm>s-10=n，不可能 m=nm=n.
对于命题 4，固定取 x1=t+1x_1=t+1，x2=t−1x_2=t-1，则 m=34 2tm=\dfrac34\,2^t，n=2t+an=2t+a. 函数 h(t)=34 2t+2t+ah(t)=\dfrac34\,2^t+2t+a 连续，且当 t→−∞t\to-\infty 时 h(t)→−∞h(t)\to-\infty，当 t→+∞t\to+\infty 时 h(t)→+∞h(t)\to+\infty. 由介值定理，存在 tt 使 h(t)=0h(t)=0，即 m=−nm=-n，命题 4 为真. 所以真命题的序号为 \circled1\circled4\circled{1}\circled{4}. \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

2015 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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09指数函数与对数函数★★★★☆
若 0<x1<x2<10 < x_{1} < x_{2} < 1，则（ ）
A.
ex2−ex1>ln⁡x2−ln⁡x1\mathrm{e}^{x_2} - \mathrm{e}^{x_1} > \ln x_2 - \ln x_1
B.
ex2−ex1<ln⁡x2−ln⁡x1\mathrm{e}^{x_2} - \mathrm{e}^{x_1} < \ln x_2 - \ln x_1
C.
x2ex1>x1ex2x_{2}\mathrm{e}^{x_{1}} > x_{1}\mathrm{e}^{x_{2}}
D.
x2ex1<x1ex2x_{2}\mathrm{e}^{x_{1}} < x_{1}\mathrm{e}^{x_{2}}

2014 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=2x∣log⁡0.5x∣−1f(x) = 2^{x} |\log_{0.5} x| - 1 的零点个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2013 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
定义“正对数”：
ln⁡+x={0,0<x<1,ln⁡x,x⩾1\ln^{+} x=\begin{cases} 0,&0<x<1,\\ \ln x,&x\geqslant1 \end{cases}
. 现有四个命题：
① 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(ab)=bln⁡+a\ln^{+}(a^{b}) = b\ln^{+} a； ② 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(ab)=ln⁡+a+ln⁡+b\ln^{+}(ab) = \ln^{+}a + \ln^{+}b； ③ 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(ab)⩾ln⁡+a−ln⁡+b\ln^{+}\left(\frac{a}{b}\right) \geqslant \ln^{+} a - \ln^{+} b； ④ 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(a+b)⩽ln⁡+a+ln⁡+b+ln⁡2\ln^{+}(a + b) \leqslant \ln^{+} a + \ln^{+} b + \ln 2.
其中真命题有______.（写出所有真命题的编号）

2013 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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23导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=exf(x) = \mathrm{e}^{x}，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的反函数的图象上点 (1,0)(1,0) 处的切线方程. (2) 证明：曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=12x2+x+1y = \frac{1}{2} x^2 + x + 1 有唯一公共点. (3) 设 a<ba < b，比较 f(a+b2)f\left(\frac{a + b}{2}\right) 与 f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} 的大小，并说明理由.

2013 · 陕西 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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11指数函数与对数函数★★★★☆
当 0<x⩽120 < x \leqslant \frac{1}{2} 时，4x<log⁡ax4^x < \log_a x，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 0<x⩽12<10<x\leqslant\frac12<1 且 4x>04^x>0，要使 log⁡ax>4x>0\log_a x>4^x>0，必须有 0<a<10<a<1. 此时 ln⁡a<0\ln a<0，原不等式等价于 ln⁡x<4xln⁡a\ln x<4^x\ln a，即 ln⁡a>ln⁡x4x\ln a>\frac{\ln x}{4^x}. 令 g(x)=ln⁡x4xg(x)=\frac{\ln x}{4^x}，则 g′(x)=4−x(1x−ln⁡4ln⁡x)>0g'(x)=4^{-x}\left(\frac1x-\ln4\ln x\right)>0 在 0<x⩽120<x\leqslant\frac12 上成立，所以 g(x)⩽g(12)=−12ln⁡2=−ln⁡2g(x)\leqslant g(\frac12)=-\frac12\ln2=-\ln\sqrt2. 因此需且只需 ln⁡a>−ln⁡2\ln a>-\ln\sqrt2，即 22<a<1\frac{\sqrt2}{2}<a<1，应选 B. \end{solution}
A.
(0,22)\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
B.
(22,1)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)
C.
(1,2)(1, \sqrt{2})
D.
(2,2)(\sqrt{2}, 2)

2012 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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14导数及其应用★★★★☆
已知正数 aa，bb，cc 满足 5c−3a⩽b⩽4c−a5c-3a \leqslant b \leqslant 4c-a，cln⁡b⩾a+cln⁡cc \ln b \geqslant a + c \ln c，则 ba\frac{b}{a} 的取值范围是______.

2012 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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08指数函数与对数函数★★★★☆
已知两条直线 l1:y=ml_1:y=m 和 l2:y=82m+1l_2:y=\frac{8}{2m+1}（m>0m>0），l1l_1 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 AA，BB，l2l_2 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 CC，DD. 记线段 ACAC 和 BDBD 在 xx 轴上的投影长度分别为 aa，bb. 当 mm 变化时，ba\frac{b}{a} 的最小值为（ ）
A.
16216\sqrt{2}
B.
828\sqrt{2}
C.
8438\sqrt[3]{4}
D.
4434\sqrt[3]{4}

2012 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，常数 λ>0\lambda > 0，且 λa1an=S1+Sn\lambda a_{1}a_{n} = S_{1} + S_{n}. 对一切正整数 nn 都成立.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 a1>0a_{1} > 0，λ=100\lambda = 100. 当 nn 为何值时，数列 {lg⁡1an}\left\{\lg \frac{1}{a_n}\right\} 的前 nn 项和最大.

2012 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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07指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a=5log⁡23.4a = 5^{\log_{2} 3.4}，b=5log⁡43.6b = 5^{\log_{4} 3.6}，c=(15)log⁡30.3c = \left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{3} 0.3}，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由于底数 5>15>1，只需比较三个指数. 令 u=log⁡23.4u=\log_2 3.4，v=log⁡43.6v=\log_4 3.6，w=−log⁡30.3=log⁡3103w=-\log_3 0.3=\log_3\frac{10}{3}. 由 1<3.6<41<3.6<4，得 0<v<10<v<1. 又因为 103>3\frac{10}{3}>3，所以 w>1w>1，从而 w>vw>v. 另一方面，
3.44=(175)4=83521625>80000625=273.4^4=\left(\frac{17}{5}\right)^4=\frac{83521}{625} >\frac{80000}{625}=2^7
给出 u>74u>\frac74，而
(103)4=1000081<17714781=37\left(\frac{10}{3}\right)^4=\frac{10000}{81} <\frac{177147}{81}=3^7
给出 w<74w<\frac74. 因此 u>w>vu>w>v. 于是
a>c>ba>c>b
选 C. \end{solution}
A.
a>b>ca > b > c
B.
b>a>cb > a > c
C.
a>c>ba > c > b
D.
c>a>bc > a > b

2011 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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19不等式★★★★☆
(1) 设 x⩾1x \geqslant 1，y⩾1y \geqslant 1，证明 x+y+1xy⩽1x+1y+xyx + y + \frac{1}{xy} \leqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + xy； (2) 1<a⩽b⩽c1 < a \leqslant b \leqslant c，证明 log⁡ab+log⁡bc+log⁡ca⩽log⁡ba+log⁡cb+log⁡ac\log_{a} b + \log_{b} c + \log_{c} a \leqslant \log_{b} a + \log_{c} b + \log_{a} c.

2011 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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