数迹
题目列表试卷列表
共找到 21 题
排序：
组题
本页 21 题去组卷
15函数与初等函数★★★★☆
关于定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x)，以下说法正确的有（ ）
A.
存在在 R\mathbf{R} 上单调递增的函数 f(x)f(x)，使 f(x)+f(2x)=−xf(x)+f(2x)=-x 恒成立
B.
存在在 R\mathbf{R} 上单调递减的函数 f(x)f(x)，使 f(x)+f(2x)=−xf(x)+f(2x)=-x 恒成立
C.
存在且有无穷多个函数 f(x)f(x)，满足 f(x)+f(−x)=cos⁡xf(x)+f(-x)=\cos x
D.
存在且有无穷多个函数 f(x)f(x)，满足 f(x)−f(−x)=cos⁡xf(x)-f(-x)=\cos x

2025 · 北京 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
10集合与逻辑基础★★★★☆
已知 M={(x,y)∣y=x+t(x2−x), 1≤x≤2, 0≤t≤1}M=\left\{ (x,y)\mid y=x+t\left( x^2-x \right),\,1\le x\le 2,\,0\le t\le 1 \right\} 是平面直角坐标系中的点集. 设 dd 是 MM 中两点间距离的最大值，SS 是 MM 表示的图形的面积，则（ ）
A.
d=3d=3，S<1S<1
B.
d=3d=3，S>1S>1
C.
d=10d=\sqrt{10}，S<1S<1
D.
d=10d=\sqrt{10}，S>1S>1

2024 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

查看答案和解析
19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），以椭圆 EE 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形. 过点 (0,t)(0,t)（t>2t>\sqrt{2}）且斜率存在的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 AA，BB，过点 AA 和 C(0,1)C(0,1) 的直线 ACAC 与椭圆 EE 的另一个交点为 DD.
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率； (2) 若直线 BDBD 的斜率为 0，求 tt 的值.

2024 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
15函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=x+2f(x)=x+2（x<−ax<-a），f(x)=a2−x2f(x)=\sqrt{a^2-x^2}（−a≤x≤a-a\le x\le a），f(x)=−x−1f(x)=-\sqrt{x}-1（x>ax>a）. 给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在区间 (a−1,+∞)(a-1,+\infty) 上单调递减； ② 当 a≥1a\ge 1 时，f(x)f(x) 存在最大值； ③ 设 M(x1,f(x1))M(x_1,f(x_1))（x1≤ax_1\le a），N(x2,f(x2))N(x_2,f(x_2))（x2>ax_2>a），则 ∣MN∣>1|MN|>1； ④ 设 P(x3,f(x3))P(x_3,f(x_3))（x3<−ax_3<-a），Q(x4,f(x4))Q(x_4,f(x_4))（x4≥−ax_4\ge -a）.
若 ∣PQ∣|PQ| 存在最小值，则 aa 的取值范围是 (0,12]\left(0,\dfrac{1}{2}\right].
其中所有正确结论的序号是______.

2023 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣lg⁡x∣−kx−2f(x)=|\lg x|-kx-2. 给出下列四个结论：
① 当 k=0k=0 时，f(x)f(x) 恰有 22 个零点； ② 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 11 个零点； ③ 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点； ④ 存在正数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点.
其中所有正确结论的序号是______.

2021 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
08函数与初等函数★★★★☆
数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 C:x2+y2=1+∣x∣yC:x^2+y^2=1+\left|x\right|y 就是其中之一（如图）. 给出下列三个结论：
① 曲线 CC 恰好经过 66 个整点（即横，纵坐标均为整数的点）； ② 曲线 CC 上任意一点到原点的距离都不超过 2\sqrt2； ③ 曲线 CC 所围成的“心形”区域的面积小于 33.
其中，所有正确结论的序号是（ ）.
A.
①
B.
②
C.
①②
D.
①②③

2019 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:x2=−2pyC:x^2=-2py 经过点 (2,−1)(2,-1).
(1) 求抛物线 CC 的方程及其准线方程； (2) 设 OO 为原点，过抛物线 CC 的焦点作斜率不为 00 的直线 ll 交抛物线 CC 于两点 MM，NN，直线 y=−1y=-1 分别交直线 OMOM，ONON 于点 AA 和点 BB，求证：以 ABAB 为直径的圆经过 yy 轴上的两个定点.

2019 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 的右焦点为 (1,0)(1,0)，且经过点 A(0,1)A(0,1).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 OO 为原点，直线 l:y=kx+tl:y=kx+t（t≠±1t\ne\pm1）与椭圆 CC 交于两个不同点 PP，QQ，直线 APAP 与 xx 轴交于点 MM，直线 AQAQ 与 xx 轴交于点 NN，若 ∣OM∣⋅∣ON∣=2\lvert OM\rvert\cdot\lvert ON\rvert=2，求证：直线 ll 经过定点.

2019 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 过点 P(1,1)P(1,1). 过点 (0,12)\left(0,\dfrac12\right) 作直线 ll 与抛物线 CC 交于不同的两点 MM，NN，过点 MM 作 xx 轴的垂线分别与直线 OPOP，ONON 交于点 AA，BB，其中 OO 为原点.
(1) 求抛物线 CC 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2) 求证：AA 为线段 BMBM 的中点.

2017 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
14函数与初等函数★★★★☆
函数
f(x)={2x−a,x<1,4(x−a)(x−2a),x⩾1.f(x)=\begin{cases} 2^x-a, & x<1,\\ 4(x-a)(x-2a), & x\geqslant 1. \end{cases}
(1) 若 a=1a=1，则 f(x)f(x) 的最小值为______； (2) 若 f(x)f(x) 恰有 22 个零点，则实数 aa 的取值范围是______.
\begin{answer} −1-1，[12,1)∪[2,+∞)\left[\dfrac{1}{2},1\right)\cup[2,+\infty) \end{answer}
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=1a=1 时，x<1x<1 时 f(x)=2x−1f(x)=2^x-1，该函数递增且下界为 −1-1. 当 x⩾1x\geqslant1 时，f(x)=4(x−1)(x−2)f(x)=4(x-1)(x-2)，其顶点为 (32,−1)\left(\frac32,-1\right)，且顶点在定义域内. 所以 f(x)f(x) 的最小值为 −1-1. \item 当 x<1x<1 时，方程 f(x)=0f(x)=0 等价于 2x=a2^x=a，它有一个定义域内的根当且仅当 0<a<20<a<2. 当 x⩾1x\geqslant1 时，方程 f(x)=0f(x)=0 的根为 x=ax=a 和 x=2ax=2a，分别满足定义域条件当且仅当 a⩾1a\geqslant1 和 a⩾12a\geqslant\frac12.
当 a⩽0a\leqslant0 时没有零点；当 0<a<120<a<\frac12 时只有第一个分支的一个零点；当 12⩽a<1\frac12\leqslant a<1 时有第一个分支的一个零点和第二分支的一个零点；当 1⩽a<21\leqslant a<2 时共有三个零点. 当 a⩾2a\geqslant2 时第一个分支没有零点，而第二分支的两个根均在定义域内. 因此恰有两个零点时，a∈[12,1)∪[2,+∞)a\in\left[\frac12,1\right)\cup[2,+\infty). \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x22−kln⁡xf(x) = \frac{x^2}{2} - k\ln x，k>0k > 0.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间和极值； (2) 证明：若 f(x)f(x) 存在零点，则 f(x)f(x) 在区间 (1,e](1, \sqrt{\mathrm{e}}] 上仅有一个零点.

2015 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
19解析几何★★★★☆
已知曲线 C:(5−m)x2+(m−2)y2=8C:(5-m)x^2+(m-2)y^2=8（m∈Rm\in\mathbf{R}）.
(1) 若曲线 CC 是焦点在 xx 轴上的椭圆，求 mm 的取值范围； (2) 设 m=4m=4，曲线 CC 与 yy 轴的交点为 AA，BB（点 AA 位于点 BB 的上方），直线 y=kx+4y=kx+4 与曲线 CC 交于不同的两点 MM，NN，直线 y=1y=1 与直线 BMBM 交于点 GG. 求证：AA，GG，NN 三点共线.

2012 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
08函数与初等函数★★★★☆
设 A(0,0)A(0, 0)，B(4,0)B(4, 0)，C(t+4,4)C(t + 4, 4)，D(t,4)D(t, 4)（t∈Rt \in \mathbf{R}）. 记 N(t)N(t) 为平行四边形 ABCDABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横，纵坐标都是整数的点，则函数 N(t)N(t) 的值域为（ ）
A.
{9,10,11}\{9, 10, 11\}
B.
{9,10,12}\{9, 10, 12\}
C.
{9,11,12}\{9, 11, 12\}
D.
{10,11,12}\{10, 11, 12\}

2011 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
19解析几何★★★★☆
已知椭圆 G:x2a2+y2b2=1G: \frac{x^2}{a^{2}} + \frac{y^2}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 63\frac{\sqrt{6}}{3}，右焦点为 (22,0)(2\sqrt{2}, 0)，斜率为 1 的直线 ll 与椭圆 GG 交于 AA，BB 两点. 以 ABAB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(−3,2)P(-3, 2).
(1) 求椭圆 GG 的方程； (2) 求 △PAB\triangle PAB 的面积.

2011 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
14函数与初等函数★★★★☆
如图放置的边长为 1 的正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动. 设顶点 P(x,y)P(x, y) 的纵坐标与横坐标的函数关系是 y=f(x)y = f(x)，则 f(x)f(x) 的最小正周期为______；y=f(x)y = f(x) 在其两个相邻零点间的图象与 xx 轴所围区域的面积为______.
说明：“正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动”包括沿 xx 轴正方向和沿 xx 轴负方向滚动. 沿 xx 轴正方向滚动指的是先以顶点 AA 为中心顺时针旋转，当顶点 BB 落在 xx 轴上时，再以顶点 BB 为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形 PABCPABC 可以沿 xx 轴负方向滚动.

2010 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
08立体几何初步★★★★☆
如图，动点 PP 在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的对角线 BD1BD_{1} 上. 过点 PP 作垂直于平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D 的直线. 与正方体表面相交于 MNMN. 设 BP=xBP = x，MN=yMN = y，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象大致是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设正方体棱长为 aa，令 t=BPBD1t=\dfrac{BP}{BD_1}，则 0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1，且 BP=a3tBP=a\sqrt3t. 取坐标 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(a,0,0)B=(a,0,0)，C=(a,a,0)C=(a,a,0)，D=(0,a,0)D=(0,a,0)，A1=(0,0,a)A_1=(0,0,a)，B1=(a,0,a)B_1=(a,0,a)，D1=(0,a,a)D_1=(0,a,a). 于是 P=(a(1−t),at,at)P=(a(1-t),at,at).
平面 BB1D1DBB_1D_1D 的方程为 x+y=ax+y=a，其法向量可取 (1,1,0)(1,1,0). 过 PP 的垂线保持 z=atz=at，在正方形截面 0⩽x0\leqslant x，y⩽ay\leqslant a 中沿方向 (1,1)(1,1) 通过 PP. 当 0⩽t⩽120\leqslant t\leqslant\frac12 时，直线段 MNMN 的两个端点为 (a(1−2t),0,at)(a(1-2t),0,at) 和 (a,2at,at)(a,2at,at)，故 MN=22atMN=2\sqrt2at；当 12⩽t⩽1\frac12\leqslant t\leqslant1 时，两个端点为 (0,a(2t−1),at)(0,a(2t-1),at) 和 (a(2−2t),a,at)(a(2-2t),a,at)，故 MN=22a(1−t)MN=2\sqrt2a(1-t). 因而 MN=22amin⁡{t,1−t}MN=2\sqrt2a\min\{t,1-t\}.
代入 t=xa3t=\dfrac{x}{a\sqrt3}，得到 y=22amin⁡{xa3,1−xa3}y=2\sqrt2a\min\left\{\dfrac{x}{a\sqrt3},1-\dfrac{x}{a\sqrt3}\right\}. 因而 yy 从 x=0x=0 时的 00 线性增加，在 x=a32x=\frac{a\sqrt3}{2} 处达到最大值，再线性减小到 x=a3x=a\sqrt3 时的 00. 图象是关于 x=a32x=\frac{a\sqrt3}{2} 对称的折线三角形，故选 B. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2008 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
13函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x2−cos⁡xf(x) = x^2 - \cos x，对于 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] 上的任意 x1x_1，x2x_2，有如下条件：
① x1>x2x_1 > x_2； ② x12>x22x_1^2 > x_2^2； ③ ∣x1∣>x2|x_1| > x_2.
其中能使 f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) 恒成立的条件序号是______.
\begin{answer} \circled{2} \end{answer}
\begin{solution} 令 g(t)=t2−cos⁡tg(t)=t^2-\cos t（0⩽t⩽π20\leqslant t\leqslant\frac\pi2），则 g′(0)=0g'(0)=0，且 g′(t)=2t+sin⁡t>0g'(t)=2t+\sin t>0（0<t⩽π20<t\leqslant\frac\pi2）. 因而对任意 0⩽s<t⩽π20\leqslant s<t\leqslant\frac\pi2，有 g(t)−g(s)=∫st(2u+sin⁡u) du>0g(t)-g(s)=\int_s^t(2u+\sin u)\,\mathrm du>0，所以 gg 在该区间上严格递增；又 f(x)=g(∣x∣)f(x)=g(|x|).
条件\circled2\circled{2}给出 ∣x1∣>∣x2∣|x_1|>|x_2|，从而 f(x1)=g(∣x1∣)>g(∣x2∣)=f(x2)f(x_1)=g(|x_1|)>g(|x_2|)=f(x_2)，因此条件\circled2\circled{2}充分. 条件\circled1\circled{1}不充分，例如 x1=0x_1=0、x2=−12x_2=-\frac12 时 x1>x2x_1>x_2，但 f(0)=−1f(0)=-1，而 f(−12)=14−cos⁡12>−34>−1f\left(-\frac12\right)=\frac14-\cos\frac12>-\frac34>-1. 条件\circled3\circled{3}也不充分，例如 x1=−1x_1=-1、x2=−π2x_2=-\frac\pi2 时 ∣x1∣>x2|x_1|>x_2，但 f(−1)=1−cos⁡1<1<π24=f(−π2)f(-1)=1-\cos1<1<\frac{\pi^2}{4}=f\left(-\frac\pi2\right). 因此填 22. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

查看答案和解析
08函数与初等函数★★★★☆
如图，动点 PP 在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的对角线 BD1BD_{1} 上. 过点 PP 作垂直于平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D 的直线，与正方体表面相交于 MNMN. 设 BP=xBP = x，MN=yMN = y，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2008 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x2−cos⁡xf(x) = x^2 - \cos x，对于 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] 上的任意 x1x_1，x2x_2，有如下条件：
① x1>x2x_1 > x_2； ② x12>x22x_1^2 > x_2^2； ③ ∣x1∣>x2|x_1| > x_2.
其中能使 f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) 恒成立的条件序号是______.
某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第 kk 棵树种植在点 Pk(xk,yk)P_k(x_k,y_k) 处，其中 x1=1x_1=1，y1=1y_1=1. 当 k⩾2k\geqslant2 时，
{xk=xk−1+1−5[T(k−15)−T(k−25)],yk=yk−1+T(k−15)−T(k−25).\begin{cases} x_k=x_{k-1}+1-5\left[T\left(\dfrac{k-1}{5}\right)-T\left(\dfrac{k-2}{5}\right)\right],\\ y_k=y_{k-1}+T\left(\dfrac{k-1}{5}\right)-T\left(\dfrac{k-2}{5}\right). \end{cases}
T(a)T(a) 表示非负实数 aa 的整数部分，例如 T(2.6)=2T(2.6)=2，T(0.2)=0T(0.2)=0. 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为______；第2008棵树种植点的坐标应为______.

2008 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
08函数与初等函数★★★★☆
对于函数
① f(x)=lg⁡(∣x−2∣+1)f(x)=\lg(|x-2|+1)； ② f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2； ③ f(x)=cos⁡(x+2)f(x)=\cos(x+2).
判断如下三个命题的真假：
命题甲：f(x+2)f(x+2) 是偶函数；
命题乙：f(x)f(x) 在 (−∞,2)(-\infty,2) 上是减函数，在 (2,+∞)(2,+\infty) 上是增函数；
命题丙：f(x+2)−f(x)f(x+2)-f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上是增函数.
能使命题甲，乙，丙均为真的所有函数的序号是（ ）
A.
①③
B.
①②
C.
③
D.
②

2007 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
19导数及其应用★★★★☆
如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r2r，短半轴长为 rr. 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 ABAB 是半椭圆的短轴，上底 CDCD 的端点在椭圆上，记 CD=2xCD = 2x，梯形面积为 SS.
(1) 求面积 SS 以 xx 为自变量的函数式，并写出其定义域. (2) 求面积 SS 的最大值.

2007 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析