设实数 $q$ 满足：存在数列 $\{a_n\}$，使得对于任意 $n\in\mathbb{N}^*$，均有 $a_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n$，且 $\{a_n\}$ 中有某连续 $9$ 项 $a_k,a_{k+1},\cdots,a_{k+8}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。则 $q$ 的最大值为 ______。

已知等差数列 $\{a_n\}$ 和等比数列 $\{b_n\}$ 满足 $a_1 = b_1 = 2$, $a_2 = b_2 + 1$, $a_3 = b_3$。

(1) 求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式;

(2) 给定 $n \in \mathbb{N}^*$, 记集合 $I = \{0, 1\}$, 集合 $T_n = \{p_1a_1b_1 + p_2a_2b_2 + \cdots + p_na_nb_n \mid p_1, p_2, \cdots, p_n \in I\}$。

① 求证: 对任意的 $t \in T_n$, 有 $t < a_{n+1}b_{n+1}$;

② 求 $T_n$ 中所有元素之和。