数迹
题目列表试卷列表
共找到 22 题
排序：
组题
本页 22 题去组卷
18立体几何初步★★★★☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ，AB=AC=2AB=AC=2，BB1=2BB_1=\sqrt{2}，EE，DD 分别为 A1B1A_1B_1，ACAC 的中点.
(1) 证明：DE//平面 BB1C1CDE // \text{平面}\, BB_1C_1C； (2) 点 PP 在平面 A1B1C1A_1B_1C_1 内，且 EP//B1C1EP//B_1C_1，再从条件\circled1\circled{1}，条件\circled2\circled{2}，条件\circled3\circled{3}这三个条件中选择一个作为已知，使得 PP 唯一确定，求平面 PADPAD 与平面 PDEPDE 的夹角的余弦值.
条件\circled1\circled{1}：PA=PDPA=PD；
条件\circled2\circled{2}：PA⊥BCPA\perp BC；
条件\circled3\circled{3}：BB1//平面 PDEBB_1 // \text{平面}\, PDE.

2026 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
14立体几何初步★★★★☆
某科技兴趣小组通过 3D 打印机打印的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 ABCDEFABCDEF 是一个平行六边形，平面 ARF⊥ARF\perp 平面 ABCABC，平面 TCD⊥TCD\perp 平面 ABCABC，AB⊥BCAB\perp BC，AB∥RS∥EF∥CDAB\parallel RS\parallel EF\parallel CD，AF∥ST∥BC∥EDAF\parallel ST\parallel BC\parallel ED. 若 AB=BC=8AB=BC=8，AF=CD=4AF=CD=4，AR=RF=TC=TD=52AR=RF=TC=TD=\dfrac52，则该多面体的体积为（ ）
A.
60
B.
90
C.
120
D.
150

2025 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
17立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为 A1D1A_1D_1 的中点，B1C1B_1C_1 与平面 CDECDE 交于点 FF.
(1) 求证：FF 为 B1C1B_1C_1 中点； (2) 若 MM 是棱 A1B1A_1B_1 上一点，且二面角 M−FC−EM-FC-E 的余弦值为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，求 A1MA1B1\dfrac{A_1M}{A_1B_1} 的值.

2021 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，CC1⊥CC_1\perp 平面 ABCABC，DD，EE，FF，GG 分别为 AA1AA_1，ACAC，A1C1A_1C_1，BB1BB_1 的中点，AB=BC=5AB=BC=\sqrt5，AC=AA1=2AC=AA_1=2.
(1) 求证：AC⊥AC\perp 平面 BEFBEF； (2) 求二面角 B−CD−C1B-CD-C_1 的余弦值； (3) 证明：直线 FGFG 与平面 BCDBCD 相交.

2018 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为正方形，平面 PAD⊥PAD\perp 平面 ABCDABCD，点 MM 在线段 PBPB 上，PD∥PD\parallel 平面 MACMAC，PA=PD=6PA=PD=\sqrt6，AB=4AB=4.
(1) 求证：MM 为 PBPB 的中点； (2) 求二面角 B−PD−AB-PD-A 的大小； (3) 求直线 MCMC 与平面 BDPBDP 所成角的正弦值.

2017 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，平面 PAD⊥PAD\perp 平面 ABCDABCD，PA⊥PDPA\perp PD，PA=PDPA=PD，AB⊥ADAB\perp AD，AB=1AB=1，AD=2AD=2，AC=CD=5AC=CD=\sqrt5.
(1) 求证：PD⊥PD\perp 平面 PABPAB； (2) 求直线 PBPB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值； (3) 在棱 PAPA 上是否存在点 MM，使得 BM∥BM\parallel 平面 PCDPCD？若存在，求 AMAP\dfrac{AM}{AP} 的值，若不存在，说明理由.

2016 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 A−EFCBA-EFCB 中，△AEF\triangle AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥AEF \perp 平面 EFCBEFCB，EF∥BCEF \parallel BC，BC=4BC=4，EF=2aEF=2a，∠EBC=∠FCB=60∘\angle EBC=\angle FCB=60^\circ，OO 为 EFEF 的中点.
(1) 求证：AO⊥BEAO \perp BE； (2) 求二面角 F−AE−BF-AE-B 的余弦值； (3) 若 BE⊥BE \perp 平面 AOCAOC，求 aa 的值.

2015 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
17立体几何初步★★★★☆
如图，正方形 AMDEAMDE 的边长为 2，BB，CC 分别为 AMAM，MDMD 的中点，在五棱锥 PP-ABCDEABCDE 中，FF 为棱 PEPE 的中点，平面 ABFABF 与棱 PDPD，PCPC 分别交于点 GG，HH.
(1) 求证：AB∥FGAB \parallel FG. (2) 若 PA⊥PA \perp 平面 ABCDEABCDE，且 PA=AEPA = AE，求直线 BCBC 与平面 ABFABF 所成角的大小，并求线段 PHPH 的长.

2014 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
14立体几何初步★★★★☆
如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE 为 BCBC 的中点，点 PP 在线段 D1ED_{1}E 上，点 PP 到直线 CC1CC_{1} 的距离的最小值为______.

2013 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
08立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，PP 为对角线 BD1BD_{1} 的三等分点，PP 到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A.
33 个
B.
44 个
C.
55 个
D.
66 个

2013 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★★☆
如图 1，在 Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C=90^\circ，BC=3BC=3，AC=6AC=6. DD，EE 分别是 ACAC，ABAB 上的点，且 DE∥BCDE\parallel BC，DE=2DE=2，将 △ADE\triangle ADE 沿 DEDE 折起到 △A1DE\triangle A_1DE 的位置，使 A1C⊥CDA_1C \perp CD，如图 2.
(1) 求证：A1C⊥A_1C \perp 平面 BCDEBCDE； (2) 若 MM 是 A1DA_1D 的中点，求 CMCM 与平面 A1BEA_1BE 所成角的大小； (3) 线段 BCBC 上是否存在点 PP，使平面 A1DPA_1DP 与平面 A1BEA_1BE 垂直？说明理由.

2012 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
07立体几何初步★★★★☆
某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A.
28+6528 + 6\sqrt{5}
B.
30+6530 + 6\sqrt{5}
C.
56+12556 + 12\sqrt{5}
D.
60+12560 + 12\sqrt{5}

2012 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，底面 ABCDABCD 是菱形，AB=2AB = 2，∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}.
(1) 求证：BD⊥BD \perp 平面 PACPAC； (2) 若 PA=ABPA = AB，求 PBPB 与 ACAC 所成角的余弦值； (3) 当平面 PBCPBC 与平面 PDCPDC 垂直时，求 PAPA 的长.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在底面菱形中，AB=AD=2AB=AD=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^{\circ}. 由平行四边形法则，取底面坐标 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(2,0,0)B=(2,0,0)，D=(1,3,0)D=(1,\sqrt3,0)，则 C=(3,3,0)C=(3,\sqrt3,0). 于是 BD→=(−1,3,0)\overrightarrow{BD}=(-1,\sqrt3,0)，AC→=(3,3,0)\overrightarrow{AC}=(3,\sqrt3,0)，从而 BD→⋅AC→=0\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}=0，即 BD⊥ACBD\perp AC. 设 HH 为 BDBD 的中点，则 H=(32,32,0)=12CH=(\frac32,\frac{\sqrt3}{2},0)=\frac12C，所以 H∈AC⊂H\in AC\subset 平面 PACPAC，即 BDBD 与平面 PACPAC 相交于 HH. 又因为 PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，过 HH 作直线 h∥PAh\parallel PA，则 BD⊥hBD\perp h. 因 ACAC 与 hh 是平面 PACPAC 内过 HH 的两条相交直线，且 BD⊥ACBD\perp AC、BD⊥hBD\perp h，故 BD⊥BD\perp 平面 PACPAC. \item 由 PA=AB=2PA=AB=2，可取 P=(0,0,2)P=(0,0,2). 于是 PB→=(2,0,−2)\overrightarrow{PB}=(2,0,-2)，AC→=(3,3,0)\overrightarrow{AC}=(3,\sqrt3,0). 因此 cos⁡∠(PB,AC)=PB→⋅AC→∣PB∣∣AC∣=6(22)(23)=64\cos\angle(PB,AC)=\dfrac{\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|PB||AC|}=\dfrac6{(2\sqrt2)(2\sqrt3)}=\dfrac{\sqrt6}{4}. \item 设 PA=h>0PA=h>0，取 P=(0,0,h)P=(0,0,h). 平面 PBCPBC 的两个方向向量可取 PB→=(2,0,−h)\overrightarrow{PB}=(2,0,-h)，PC→=(3,3,−h)\overrightarrow{PC}=(3,\sqrt3,-h)，其法向量可取 n1=(3h,−h,23)\boldsymbol{n}_1=(\sqrt3h,-h,2\sqrt3). 平面 PDCPDC 的两个方向向量可取 PD→=(1,3,−h)\overrightarrow{PD}=(1,\sqrt3,-h)，PC→=(3,3,−h)\overrightarrow{PC}=(3,\sqrt3,-h)，其法向量可取 n2=(0,−2h,−23)\boldsymbol{n}_2=(0,-2h,-2\sqrt3).
两平面垂直等价于两法向量垂直，所以 n1⋅n2=2h2−12=0\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2=2h^2-12=0. 由 h>0h>0，得 PA=h=6PA=h=\sqrt6. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
08立体几何初步★★★★☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 2 ，动点 EE，FF 在棱 A1B1A_{1}B_{1} 上，动点 PP，QQ 分别在棱 ADAD，CDCD 上，若 EF=1EF = 1，A1E=xA_{1}E = x，DQ=yDQ = y，DP=zDP = z（xx，yy，z>0z > 0），则四面体 PEFQPEFQ 的体积（ ）
A.
与 xx，yy，zz 都有关
B.
与 xx 有关，与 yy，zz 无关
C.
与 yy 有关，与 xx，zz 无关
D.
与 zz 有关，与 xx，yy 无关

2010 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
08立体几何初步★★★★☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 2 ，动点 EE，FF 在棱 A1B1A_{1}B_{1} 上. 点 QQ 是棱 CDCD 的中点，动点 PP 在棱 ADAD 上，若 EF=1EF = 1，DP=xDP = x，A1E=yA_{1}E = y（xx，yy 大于零），则三棱锥 P−EFQP - EFQ 的体积（ ）
A.
与 x,yx, y 都有关
B.
与 xx，yy 都无关
C.
与 xx 有关，与 yy 无关
D.
与 yy 有关，与 xx 无关

2010 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCABC，PA=ABPA = AB，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ，∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ，点 DD，EE 分别在棱 PBPB，PCPC 上，且 DE∥BCDE \parallel BC.
(1) 求证：BC⊥BC \perp 平面 PACPAC； (2) 当 DD 为 PBPB 的中点时，求 ADAD 与平面 PACPAC 所成的角的大小； (3) 是否存在点 EE 使得二面角 A−DE−PA - DE - P 为直二面角？ 并说明理由.

2009 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
08立体几何初步★★★★☆
如图，动点 PP 在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的对角线 BD1BD_{1} 上. 过点 PP 作垂直于平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D 的直线. 与正方体表面相交于 MNMN. 设 BP=xBP = x，MN=yMN = y，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象大致是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设正方体棱长为 aa，令 t=BPBD1t=\dfrac{BP}{BD_1}，则 0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1，且 BP=a3tBP=a\sqrt3t. 取坐标 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(a,0,0)B=(a,0,0)，C=(a,a,0)C=(a,a,0)，D=(0,a,0)D=(0,a,0)，A1=(0,0,a)A_1=(0,0,a)，B1=(a,0,a)B_1=(a,0,a)，D1=(0,a,a)D_1=(0,a,a). 于是 P=(a(1−t),at,at)P=(a(1-t),at,at).
平面 BB1D1DBB_1D_1D 的方程为 x+y=ax+y=a，其法向量可取 (1,1,0)(1,1,0). 过 PP 的垂线保持 z=atz=at，在正方形截面 0⩽x0\leqslant x，y⩽ay\leqslant a 中沿方向 (1,1)(1,1) 通过 PP. 当 0⩽t⩽120\leqslant t\leqslant\frac12 时，直线段 MNMN 的两个端点为 (a(1−2t),0,at)(a(1-2t),0,at) 和 (a,2at,at)(a,2at,at)，故 MN=22atMN=2\sqrt2at；当 12⩽t⩽1\frac12\leqslant t\leqslant1 时，两个端点为 (0,a(2t−1),at)(0,a(2t-1),at) 和 (a(2−2t),a,at)(a(2-2t),a,at)，故 MN=22a(1−t)MN=2\sqrt2a(1-t). 因而 MN=22amin⁡{t,1−t}MN=2\sqrt2a\min\{t,1-t\}.
代入 t=xa3t=\dfrac{x}{a\sqrt3}，得到 y=22amin⁡{xa3,1−xa3}y=2\sqrt2a\min\left\{\dfrac{x}{a\sqrt3},1-\dfrac{x}{a\sqrt3}\right\}. 因而 yy 从 x=0x=0 时的 00 线性增加，在 x=a32x=\frac{a\sqrt3}{2} 处达到最大值，再线性减小到 x=a3x=a\sqrt3 时的 00. 图象是关于 x=a32x=\frac{a\sqrt3}{2} 对称的折线三角形，故选 B. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2008 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
08函数与初等函数★★★★☆
如图，动点 PP 在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的对角线 BD1BD_{1} 上. 过点 PP 作垂直于平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D 的直线，与正方体表面相交于 MNMN. 设 BP=xBP = x，MN=yMN = y，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2008 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP - ABC 中，AC=BC=2AC = BC = 2，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ，AP=BP=ABAP = BP = AB，PC⊥ACPC \perp AC.
(1) 求证：PC⊥ABPC \perp AB； (2) 求二面角 B−AP−CB - AP - C 的大小.

2008 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★★☆
如图，在 Rt△AOB\mathrm{Rt}\triangle AOB 中，∠OAB=π6\angle OAB = \frac{\pi}{6}，斜边 AB=4AB = 4. Rt△AOC\mathrm{Rt}\triangle AOC 可以通过 Rt△AOB\mathrm{Rt}\triangle AOB 以直线 AOAO 为轴旋转得到，且二面角 B−AO−CB-AO-C 是直二面角. 动点 DD 在斜边 ABAB 上.
(1) 求证：平面 CODCOD ⊥\perp 平面 AOBAOB. (2) 当 DD 为 ABAB 的中点时，求异面直线 AOAO 与 CDCD 所成角的大小. (3) 求 CDCD 与平面 AOBAOB 所成角的最大值.

2007 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
07立体几何初步★★★★☆
平面 α\alpha ∥\parallel 平面 β\beta 的一个充分条件是（ ）
A.
存在一条直线 aa，a∥αa \parallel \alpha，a∥βa \parallel \beta
B.
存在一条直线 aa，a⊂αa \subset \alpha，a∥βa \parallel \beta
C.
存在两条平行直线 aa，bb，a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥βa \parallel \beta，b∥αb \parallel \alpha
D.
存在两条异面直线 aa，bb，a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥βa \parallel \beta，b∥αb \parallel \alpha

2007 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

查看答案和解析
17立体几何初步★★★★☆
如图，ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 是正四棱柱.
(1) 求证：BD⊥BD \perp 平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1}； (2) 若二面角 C1−BD−CC_{1} - BD - C 的大小为 60∘60^{\circ}，求异面直线 BC1BC_{1} 与 ACAC 所成角的大小.

2006 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析