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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, △ADC\triangle ADC 与 △BAC\triangle BAC 均为等腰直角三角形, ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ, ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ, EE 为 BCBC 的中点。
(1) 若 F,GF, G 分别为 PD,PEPD, PE 的中点, 求证: FG∥FG \parallel 平面 PABPAB;
(2) 若 PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD, PA=ACPA = AC, 求直线 ABAB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值。

2025北京卷 · 第 17 题 · 解答题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 在四边形 ABCDABCD 中, AB∥CDAB \parallel CD, ∠DAB=90∘\angle DAB = 90^\circ, FF 为 CDCD 的中点, 点 EE 在 ABAB 上, EF∥ADEF \parallel AD, AB=3ADAB = 3AD, CD=2ADCD = 2AD。将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A', 使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ。
(1) 证明: A′B∥A'B \parallel 平面 CD′FCD'F;
(2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值。

2025全国二卷 · 第 17 题 · 解答题

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18高考真题14分立体几何初步★★★★☆
如图, 点 PP 是圆锥的顶点, 点 OO 是底面圆心, 底面直径 AB=2AB = 2。
(1) 若直线 PAPA 与圆锥底面所成角为 π3\frac{\pi}{3}, 求圆锥的侧面积;
(2) 若 QQ 是母线 PAPA 的中点, 点 CC、DD 在底面圆周上, AC^\widehat{AC} 弧长为 π3\frac{\pi}{3}, CD∥ABCD \parallel AB, 点 TT 在线段 OCOC 上, 求证: 直线 QT∥QT \parallel 平面 PBDPBD。

2025上海卷 · 第 18 题 · 解答题

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在三棱锥 P-ABCP\text{-}ABC 中, AB⊥BCAB \perp BC, AB=2AB = 2, BC=22BC = 2\sqrt{2}, PB=PC=6PB = PC = \sqrt{6}, BP,AP,BCBP, AP, BC 的中点分别为 D,E,OD, E, O, AD=5 DOAD = \sqrt{5}\,DO, 点 FF 在 ACAC 上, BF⊥AOBF \perp AO。
(1) 证明: EF∥EF \parallel 平面 ADOADO;
(2) 证明: 平面 ADO⊥ADO \perp 平面 BEFBEF;
(3) 求二面角 D-AO-CD\text{-}AO\text{-}C 的正弦值。

2023全国乙卷(理) · 第 19 题 · 解答题

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在三棱锥 P−ABCP-ABC 中, AB⊥BCAB \perp BC, AB=2AB = 2, BC=22BC = 2\sqrt{2}, PB=PC=6PB = PC = \sqrt{6}, BP,AP,BCBP, AP, BC 的中点分别为 D,E,OD, E, O。点 FF 在 ACAC 上, BF⊥AOBF \perp AO。
(1) 证明: EF∥EF \parallel 平面 ADOADO;
(2) 若 ∠POF=120∘\angle POF = 120^\circ, 求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积。

2023全国乙卷(文) · 第 19 题 · 解答题

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