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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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14平面向量★★★★☆
已知 ∣a∣=a⋅b=1|\boldsymbol{a}|=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=1，∣b∣>1|\boldsymbol{b}|>1，记 c=λa+μb\boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}. 当 a+b−c=0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=0 时，λ+μ=‾\lambda+\mu=\underline{\hspace{2em}}；当 ∣a+b−c∣=1|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=1 时，λ+μ\lambda+\mu 的取值范围为______.

2026 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x>0x>0 时 f(x)=1f(x)=1，当 x=0x=0 时 f(x)=0f(x)=0，当 x<0x<0 时 f(x)=−1f(x)=-1. a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 分别为平面内三个不同的单位向量. 若 f(a⋅b)+f(b⋅c)+f(c⋅a)=0f(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+f(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})+f(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的可取值范围是______.

2025 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
在平面中，e1\boldsymbol{e}_1 和 e2\boldsymbol{e}_2 是互相垂直的单位向量，向量 a\boldsymbol{a} 满足 ∣a−4e1∣=2|\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{e}_1|=2，向量 b\boldsymbol{b} 满足 ∣b−6e2∣=1|\boldsymbol{b}-6\boldsymbol{e}_2|=1，求 b\boldsymbol{b} 在 a\boldsymbol{a} 方向上的数量投影的最大值______.

2025 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率 e=12e=\frac12. 左顶点为 AA，下顶点为 BB，CC 是线段 OBOB 的中点，其中 S△ABC=332S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆方程； (2) 过点 (0,−32)\left(0,-\frac32\right) 的动直线与椭圆有两个交点 PP，QQ. 在 yy 轴上是否存在点 TT 使得 TP→⋅TQ→≤0\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0？若存在，求出这个 TT 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

2024 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★★☆
已知四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是边长为 4 的正方形，PC=PD=3PC=PD=3，∠PCA=45∘\angle PCA=45^\circ，则 △PBC\triangle PBC 的面积为（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
323\sqrt{2}
C.
424\sqrt{2}
D.
626\sqrt{2}

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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14平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，BC=1BC=1，点 DD 为 ABAB 的中点，点 EE 为 CDCD 的中点. 若设 AB→=a\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}，AC→=b\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}，则 AE→\overrightarrow{AE} 可用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示为______；若 BF→=13BC→\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF} 的最大值为______.

2023 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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106分解析几何★★★★☆
已知 OO 为坐标原点，过抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）焦点 FF 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点，其中 AA 在第一象限，点 M(p,0)M(p,0). 若 ∣AF∣=∣AM∣|AF|=|AM|，则（ ）
A.
直线 ABAB 的斜率为 262\sqrt6
B.
∣OB∣=∣OF∣|OB|=|OF|
C.
∣AB∣>4∣OF∣|AB|>4|OF|
D.
∠OAM+∠OBM<180∘\angle OAM+\angle OBM<180^\circ

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 10 题 · 多选题

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14平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 为 ACAC 的中点，点 EE 满足 CB→=2BE→\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}. 记 CA→=a\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}，CB→=b\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{b}，用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示 DE→=\overrightarrow{DE}=______；若 AB→⊥DE→\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DE}，则 ∠ACB\angle ACB 的最大值为______.

2022 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2=1\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1，其中 a>0a>0，双曲线右支上有任意两点 P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1)，P2(x2,y2)P_2(x_2,y_2)，满足 x1x2−y1y2>0x_1x_2-y_1y_2>0 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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16平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，DD 为 BCBC 中点，EE 为 ADAD 中点. 判断：
① 存在 △ABC\triangle ABC，使得 AB→⋅CE→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CE}=0； ② 存在 △ABC\triangle ABC，使得 CE→∥(CB→+CA→)\overrightarrow{CE}\parallel(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}).
则（ ）.
A.
\circled1\circled{1} 成立，\circled2\circled{2} 成立
B.
\circled1\circled{1} 成立，\circled2\circled{2} 不成立
C.
\circled1\circled{1} 不成立，\circled2\circled{2} 成立
D.
\circled1\circled{1} 不成立，\circled2\circled{2} 不成立

2021 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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17平面向量★★★★☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c}（c≠0\boldsymbol{c}\ne\boldsymbol{0}） 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0 且 (a−b)⋅c=0(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=0. 记向量 d\boldsymbol{d} 在 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 方向上的投影分别为 xx，yy， d−a\boldsymbol{d}-\boldsymbol{a} 在 c\boldsymbol{c} 方向上的投影为 zz，则 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，b1\boldsymbol{b}_1，b2\boldsymbol{b}_2，…\ldots，bk\boldsymbol{b}_k（k∈N∗k\in\mathbf{N}^*）是平面内两两互不相等的向量，满足 ∣a1−a2∣=1|\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2|=1，且 ∣ai−bj∣∈{1,2}|\boldsymbol{a}_i-\boldsymbol{b}_j|\in\{1,2\}（其中 i=1i=1，22，j=1j=1，22，…\ldots，kk），则 kk 的最大值是______.

2020 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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11平面向量★★★★☆
已知 A1A_1，A2A_2，A3A_3，A4A_4，A5A_5 五个点，满足 AnAn+1→⋅An+1An+2→=0\overrightarrow{A_nA_{n+1}}\cdot\overrightarrow{A_{n+1}A_{n+2}}=0 （n=1n=1，22，33），∣AnAn+1∣⋅∣An+1An+2∣=n+1|A_nA_{n+1}|\cdot|A_{n+1}A_{n+2}|=n+1 （n=1n=1，22，33），则 ∣A1A5∣|A_1A_5| 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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13平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=4AB=4，AC=3AC=3，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ. DD 在边 BCBC 上，延长 ADAD 到 PP，使得 AP=9AP=9. 若 PA→=mPB→+(32−m)PC→\overrightarrow{PA}=m\overrightarrow{PB}+\left(\dfrac32-m\right)\overrightarrow{PC}（mm 为常数），则 CDCD 的长度是______.

2020 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
设 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 为单位向量，满足 ∣2e1−e2∣≤2|2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2|\le\sqrt2，a=e1+e2\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2，b=3e1+e2\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2，设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，则 cos⁡2θ\cos^2\theta 的最小值为______.

2020 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
在椭圆 x24+y22=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1 上任意一点 PP，QQ 与 PP 关于 xx 轴对称，若有 F1P→⋅F2P→≤1\overrightarrow{F_1P}\cdot\overrightarrow{F_2P}\le1，则 F1P→\overrightarrow{F_1P} 与 F2Q→\overrightarrow{F_2Q} 的夹角范围为______.

2019 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，DD 是 BCBC 的中点，EE 在边 ABAB 上，BE=2EABE=2EA，ADAD 与 CECE 交于点 OO. 若 AB→⋅AC→=6AO→⋅EC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{EC}，则 ABAC\dfrac{AB}{AC} 的值是______.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 11. 当每个 λi\lambda_i（i=1i=1，22，33，44，55，66）都取 ±1\pm1 时，∣λ1AB→+λ2BC→+λ3CD→+λ4DA→+λ5AC→+λ6BD→∣\left|\lambda_1\overrightarrow{AB}+\allowbreak\lambda_2\overrightarrow{BC}+\allowbreak\lambda_3\overrightarrow{CD}+\allowbreak\lambda_4\overrightarrow{DA}+\allowbreak\lambda_5\overrightarrow{AC}+\allowbreak\lambda_6\overrightarrow{BD}\right| 的最小值是______；最大值是______.

2019 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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16平面向量★★★★☆
已知 AA，BB 为平面上的两个定点，且 ∣AB∣=2\lvert AB\rvert=2，该平面上的动线段 PQPQ 的端点 PP，QQ，满足 ∣AP∣≤5\lvert AP\rvert\le5，AP→⋅AB→=6\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=6，AQ→=−2AP→\overrightarrow{AQ}=-2\overrightarrow{AP}，则动线段 PQPQ 所形成图形的面积为（ ）
A.
3636
B.
6060
C.
7272
D.
108108

2018 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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12平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，AA 为直线 l:y=2xl:y=2x 上在第一象限内的点，B(5,0)B(5,0)，以 ABAB 为直径的圆 CC 与直线 ll 交于另一点 DD. 若 AB→⋅CD→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0，则点 AA 的横坐标为______.

2018 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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09平面向量★★★★☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，e\boldsymbol{e} 是平面向量，e\boldsymbol{e} 是单位向量. 若非零向量 a\boldsymbol{a} 与 e\boldsymbol{e} 的夹角为 π3\dfrac{\pi}{3}，向量 b\boldsymbol{b} 满足 ∥b∥2−4e⋅b+3=0\lVert\boldsymbol{b}\rVert^2-4\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{b}+3=0，则 ∥a−b∥\lVert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rVert 的最小值是（ ）
A.
3−1\sqrt3-1
B.
3+1\sqrt3+1
C.
22
D.
2−32-\sqrt3

2018 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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17解析几何★★★★☆
已知点 P(0,1)P(0,1)，椭圆 x24+y2=m\dfrac{x^2}{4}+y^2=m（m>1m>1）上两点 AA，BB 满足 AP→=2PB→\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}，则当 m=m=______ 时，点 BB 横坐标的绝对值最大.

2018 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★☆
设 AA，BB 为曲线 C:y=x24C:y=\dfrac{x^2}{4} 上两点，AA 与 BB 的横坐标之和为 44.
(1) 求直线 ABAB 的斜率； (2) 设 MM 为曲线 CC 上一点，曲线 CC 在 MM 处的切线与直线 ABAB 平行，且 AM⊥BMAM\perp BM，求直线 ABAB 的方程.

2017 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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