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025分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，且 2a+yb=xa−3b2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}，则（ ）
A.
x=2x=2，y=−3y=-3
B.
x=−2x=-2，y=3y=3
C.
x=2x=2，y=3y=3
D.
x=−2x=-2，y=−3y=-3

2026 · 全国 · 一卷 · 第 2 题 · 选择题

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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a+b∣=1\left| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right|=1，∣a−b∣=3\left| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right|=\sqrt{3}，则 a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
13\frac{1}{3}
C.
−13-\frac{1}{3}
D.
−12-\frac{1}{2}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 3 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a−b∣=2\left| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right|=2，a=(2,0)\boldsymbol{a}=\left( 2,0 \right)，则 ∣b∣\left| \boldsymbol{b} \right| 的最大值为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2026 · 北京 · 第 6 题 · 选择题

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14平面向量★★★★☆
已知 ∣a∣=a⋅b=1|\boldsymbol{a}|=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=1，∣b∣>1|\boldsymbol{b}|>1，记 c=λa+μb\boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}. 当 a+b−c=0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=0 时，λ+μ=‾\lambda+\mu=\underline{\hspace{2em}}；当 ∣a+b−c∣=1|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=1 时，λ+μ\lambda+\mu 的取值范围为______.

2026 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
已知 k∈Rk\in \mathbf{R}，向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 是两两不平行的向量，且 a+3b∥b+c\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，2a+kc∥b+c2\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{c}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知 a=(x,3)\boldsymbol{a}=(x,3)，b=(4,6)\boldsymbol{b}=(4,6)，若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 x=‾x=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，DD，EE 在边 BCBC 上，且 BD=DE=ECBD=DE=EC，AD=1AD=1，∠DAE=π3\angle DAE=\dfrac{\pi}{3}，则 AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} 的最大值为______.

2026 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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065分平面向量★★☆☆☆
帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 图1给出了部分风力等级，名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s\mathrm{m/s}），则该时刻的真风为（ ）
A.
轻风
B.
微风
C.
和风
D.
劲风

2025 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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125分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(x−1,2x)\boldsymbol{b}=(x-1,2x)，若 a⊥(a−b)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}|=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
已知平面直角坐标系 xOyxOy 中，∣OA→∣=∣OB→∣=2|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=\sqrt2，∣AB→∣=2|\overrightarrow{AB}|=2，设 C(3,4)C(3,4)，则 ∣2CA→+AB→∣|2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}| 的取值范围是（ ）
A.
[6,14][6,14]
B.
[6,12][6,12]
C.
[8,14][8,14]
D.
[8,12][8,12]

2025 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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14平面向量★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，DD 为 ABAB 中点，CE→=13CD→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CD}，AC→=b\overrightarrow{AC}= \boldsymbol{b}，AB→=a\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}. 则 AE→=‾\overrightarrow{AE}=\underline{\hspace{2em}}（用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示）；若 ∣AE→∣=5|\overrightarrow{AE}|=5，AE→⊥CB→\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{CB}，则 AE→⋅CD→=‾\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{CD}=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x>0x>0 时 f(x)=1f(x)=1，当 x=0x=0 时 f(x)=0f(x)=0，当 x<0x<0 时 f(x)=−1f(x)=-1. a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 分别为平面内三个不同的单位向量. 若 f(a⋅b)+f(b⋅c)+f(c⋅a)=0f(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+f(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})+f(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的可取值范围是______.

2025 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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04平面向量★☆☆☆☆
已知 a=(2,1)\boldsymbol{a}=(2,1)，b=(1,x)\boldsymbol{b}=(1,x)，若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 x=‾x=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
在平面中，e1\boldsymbol{e}_1 和 e2\boldsymbol{e}_2 是互相垂直的单位向量，向量 a\boldsymbol{a} 满足 ∣a−4e1∣=2|\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{e}_1|=2，向量 b\boldsymbol{b} 满足 ∣b−6e2∣=1|\boldsymbol{b}-6\boldsymbol{e}_2|=1，求 b\boldsymbol{b} 在 a\boldsymbol{a} 方向上的数量投影的最大值______.

2025 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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035分平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(0,1)\boldsymbol{a}=(0,1)，b=(2,x)\boldsymbol{b}=(2,x)，若 b⊥(b−4a)\boldsymbol{b}\perp (\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})，则 x=x=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣a+2b∣=2|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=2，且 (b−2a)⊥b(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\perp \boldsymbol{b}，则 ∣b∣=|\boldsymbol{b}|=（ ）
A.
12\frac12
B.
22\frac{\sqrt2}{2}
C.
32\frac{\sqrt3}{2}
D.
11

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 3 题 · 选择题

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1917分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=mC:x^2-y^2=m（m>0m>0），点 P1(5,4)P_1(5,4) 在 CC 上，kk 为常数，0<k<10<k<1. 按照如下方式依次构造点 PnP_n（n=2n=2，33，…\dots）：过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}，令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点，记 PnP_n 的坐标为 (xn,yn)(x_n,y_n).
(1) 若 k=12k=\frac12，求 x2x_2，y2y_2； (2) 证明：数列 {xn−yn}\{x_n-y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列； (3) 设 SnS_n 为 △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积，证明：对任意的正整数 nn，Sn=Sn+1S_n=S_{n+1}.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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09平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(x+1,x)\boldsymbol{a}=(x+1,x)，b=(x,2)\boldsymbol{b}=(x,2)，则（ ）
A.
“x=−3x=-3”是“a⊥b\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}”的必要条件
B.
“x=1+3x=1+\sqrt{3}”是“a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}”的必要条件
C.
“x=0x=0”是“a⊥b\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}”的充分条件
D.
“x=−1+3x=-1+\sqrt{3}”是“a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}”的充分条件

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
设向量 a=(x+1,x)\boldsymbol{a}=(x+1,x)，b=(x,2)\boldsymbol{b}=(x,2)，c=(1,1)\boldsymbol{c}=(1,1)，若 a−2b\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b} 与 c\boldsymbol{c} 共线，则 x=x=（ ）
A.
52\dfrac52
B.
12\dfrac12
C.
−12-\dfrac12
D.
−52-\dfrac52

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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05平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是向量，则“(a+b)⋅(a−b)=0\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right)\cdot\left( \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right)=0”是“a=−b\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{b} 或 a=b\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2024 · 北京 · 第 5 题 · 选择题

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14平面向量★★★☆☆
在边长为 1 的正方形 ABCDABCD 中，点 EE 为线段 CDCD 的三等分点，CE=12DECE=\frac12DE，BE→=λBA→+μBC→\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}，则 λ+μ=‾\lambda+\mu=\underline{\hspace{2em}}；FF 为线段 BEBE 上的动点，GG 为 AFAF 中点，则 AF→⋅DG→\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{DG} 的最小值为______.

2024 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率 e=12e=\frac12. 左顶点为 AA，下顶点为 BB，CC 是线段 OBOB 的中点，其中 S△ABC=332S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆方程； (2) 过点 (0,−32)\left(0,-\frac32\right) 的动直线与椭圆有两个交点 PP，QQ. 在 yy 轴上是否存在点 TT 使得 TP→⋅TQ→≤0\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0？若存在，求出这个 TT 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

2024 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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05平面向量★☆☆☆☆
已知 k∈Rk\in \mathbf{R}，a=(2,5)\boldsymbol{a}=(2,5)，b=(6,k)\boldsymbol{b}=(6,k)，且 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 k=k=______.

2024 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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