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14立体几何初步★★★★☆
某科技兴趣小组通过 3D 打印机打印的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 ABCDEFABCDEF 是一个平行六边形，平面 ARF⊥ARF\perp 平面 ABCABC，平面 TCD⊥TCD\perp 平面 ABCABC，AB⊥BCAB\perp BC，AB∥RS∥EF∥CDAB\parallel RS\parallel EF\parallel CD，AF∥ST∥BC∥EDAF\parallel ST\parallel BC\parallel ED. 若 AB=BC=8AB=BC=8，AF=CD=4AF=CD=4，AR=RF=TC=TD=52AR=RF=TC=TD=\dfrac52，则该多面体的体积为（ ）
A.
60
B.
90
C.
120
D.
150

2025 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列. 记集合 M={k∣ak=bk, k∈N∗}M=\{k\mid a_k=b_k,\ k\in \mathbf{N}^*\}，给出下列 4 个结论：
① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列，则 MM 中最多有 1 个元素； ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列，则 MM 中最多有 2 个元素； ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，则 MM 中最多有 3 个元素； ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列，{bn}\{b_n\} 为递减数列，则 MM 中最多有 1 个元素.
其中正确结论的序号是______.

2024 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=x+2f(x)=x+2（x<−ax<-a），f(x)=a2−x2f(x)=\sqrt{a^2-x^2}（−a≤x≤a-a\le x\le a），f(x)=−x−1f(x)=-\sqrt{x}-1（x>ax>a）. 给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在区间 (a−1,+∞)(a-1,+\infty) 上单调递减； ② 当 a≥1a\ge 1 时，f(x)f(x) 存在最大值； ③ 设 M(x1,f(x1))M(x_1,f(x_1))（x1≤ax_1\le a），N(x2,f(x2))N(x_2,f(x_2))（x2>ax_2>a），则 ∣MN∣>1|MN|>1； ④ 设 P(x3,f(x3))P(x_3,f(x_3))（x3<−ax_3<-a），Q(x4,f(x4))Q(x_4,f(x_4))（x4≥−ax_4\ge -a）.
若 ∣PQ∣|PQ| 存在最小值，则 aa 的取值范围是 (0,12]\left(0,\dfrac{1}{2}\right].
其中所有正确结论的序号是______.

2023 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 各项均为正数，其前 nn 项和 SnS_n 满足 anSn=9a_nS_n=9（n=1n=1，22，…\dots）. 给出下列四个结论：
① {an}\{a_n\} 的第 2 项小于 3； ② {an}\{a_n\} 为等比数列； ③ {an}\{a_n\} 为递减数列； ④ {an}\{a_n\} 中存在小于 1100\dfrac{1}{100} 的项.
其中所有正确结论的序号是______.

2022 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣lg⁡x∣−kx−2f(x)=|\lg x|-kx-2. 给出下列四个结论：
① 当 k=0k=0 时，f(x)f(x) 恰有 22 个零点； ② 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 11 个零点； ③ 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点； ④ 存在正数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点.
其中所有正确结论的序号是______.

2021 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），双曲线 N:x2m2−y2n2=1N:\dfrac{x^2}{m^2}-\dfrac{y^2}{n^2}=1. 若双曲线 NN 的两条渐近线与椭圆 MM 的四个交点及椭圆 MM 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 MM 的离心率为______；双曲线 NN 的离心率为______.

2018 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
若 △ABC\triangle ABC 的面积为 34(a2+c2−b2)\dfrac{\sqrt3}{4}(a^2+c^2-b^2)，且 ∠C\angle C 为钝角，则 ∠B=‾\angle B=\underline{\hspace{2em}}；ca\dfrac ca 的取值范围是______.

2018 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
设函数
f(x)={x3−3x,x≤a,−2x,x>a.f(x)=\begin{cases} x^3-3x, & x\le a,\\ -2x, & x>a. \end{cases}
(1) 若 a=0a=0，则 f(x)f(x) 的最大值为______； (2) 若 f(x)f(x) 无最大值，则实数 aa 的取值范围是______.

2016 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
函数
f(x)={2x−a,x<1,4(x−a)(x−2a),x⩾1.f(x)=\begin{cases} 2^x-a, & x<1,\\ 4(x-a)(x-2a), & x\geqslant 1. \end{cases}
(1) 若 a=1a=1，则 f(x)f(x) 的最小值为______； (2) 若 f(x)f(x) 恰有 22 个零点，则实数 aa 的取值范围是______.
\begin{answer} −1-1，[12,1)∪[2,+∞)\left[\dfrac{1}{2},1\right)\cup[2,+\infty) \end{answer}
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=1a=1 时，x<1x<1 时 f(x)=2x−1f(x)=2^x-1，该函数递增且下界为 −1-1. 当 x⩾1x\geqslant1 时，f(x)=4(x−1)(x−2)f(x)=4(x-1)(x-2)，其顶点为 (32,−1)\left(\frac32,-1\right)，且顶点在定义域内. 所以 f(x)f(x) 的最小值为 −1-1. \item 当 x<1x<1 时，方程 f(x)=0f(x)=0 等价于 2x=a2^x=a，它有一个定义域内的根当且仅当 0<a<20<a<2. 当 x⩾1x\geqslant1 时，方程 f(x)=0f(x)=0 的根为 x=ax=a 和 x=2ax=2a，分别满足定义域条件当且仅当 a⩾1a\geqslant1 和 a⩾12a\geqslant\frac12.
当 a⩽0a\leqslant0 时没有零点；当 0<a<120<a<\frac12 时只有第一个分支的一个零点；当 12⩽a<1\frac12\leqslant a<1 时有第一个分支的一个零点和第二分支的一个零点；当 1⩽a<21\leqslant a<2 时共有三个零点. 当 a⩾2a\geqslant2 时第一个分支没有零点，而第二分支的两个根均在定义域内. 因此恰有两个零点时，a∈[12,1)∪[2,+∞)a\in\left[\frac12,1\right)\cup[2,+\infty). \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
设函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x) = A \sin (\omega x + \varphi) （AA，ω\omega，φ\varphi 是常数，A>0A > 0，ω>0\omega > 0）. 若 f(x)f(x) 在区间 [π6,π2]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right] 上具有单调性，且 f(π2)=f(2π3)=−f(π6)f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -f\left(\frac{\pi}{6}\right)，则 f(x)f(x) 的最小正周期为______.

2014 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
顾客请一位工艺师把 AA，BB 两件玉石原料各制成一件工艺品. 工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间 （单位：工作日） 如下：
则最短交货期为______个工作日\text{个工作日}.

2014 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★★☆
如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE 为 BCBC 的中点，点 PP 在线段 D1ED_{1}E 上，点 PP 到直线 CC1CC_{1} 的距离的最小值为______.

2013 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
设 A(0,0)A(0,0)，B(4,0)B(4,0)，C(t+4,3)C(t + 4,3)，D(t,3)D(t,3)（t∈Rt \in \mathbf{R}）. 记 N(t)N(t) 为平行四边形 ABCDABCD 内部（不含边界）的整点的个数. 其中整点是指横，纵坐标都是整数的点，则 N(0)=N(0) =______；N(t)N(t) 的所有可能取值为______.

2011 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
如图放置的边长为 1 的正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动. 设顶点 P(x,y)P(x, y) 的纵坐标与横坐标的函数关系是 y=f(x)y = f(x)，则 f(x)f(x) 的最小正周期为______；y=f(x)y = f(x) 在其两个相邻零点间的图象与 xx 轴所围区域的面积为______.
说明：“正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动”包括沿 xx 轴正方向和沿 xx 轴负方向滚动. 沿 xx 轴正方向滚动指的是先以顶点 AA 为中心顺时针旋转，当顶点 BB 落在 xx 轴上时，再以顶点 BB 为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形 PABCPABC 可以沿 xx 轴负方向滚动.

2010 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x2−cos⁡xf(x) = x^2 - \cos x，对于 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] 上的任意 x1x_1，x2x_2，有如下条件：
① x1>x2x_1 > x_2； ② x12>x22x_1^2 > x_2^2； ③ ∣x1∣>x2|x_1| > x_2.
其中能使 f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) 恒成立的条件序号是______.
\begin{answer} \circled{2} \end{answer}
\begin{solution} 令 g(t)=t2−cos⁡tg(t)=t^2-\cos t（0⩽t⩽π20\leqslant t\leqslant\frac\pi2），则 g′(0)=0g'(0)=0，且 g′(t)=2t+sin⁡t>0g'(t)=2t+\sin t>0（0<t⩽π20<t\leqslant\frac\pi2）. 因而对任意 0⩽s<t⩽π20\leqslant s<t\leqslant\frac\pi2，有 g(t)−g(s)=∫st(2u+sin⁡u) du>0g(t)-g(s)=\int_s^t(2u+\sin u)\,\mathrm du>0，所以 gg 在该区间上严格递增；又 f(x)=g(∣x∣)f(x)=g(|x|).
条件\circled2\circled{2}给出 ∣x1∣>∣x2∣|x_1|>|x_2|，从而 f(x1)=g(∣x1∣)>g(∣x2∣)=f(x2)f(x_1)=g(|x_1|)>g(|x_2|)=f(x_2)，因此条件\circled2\circled{2}充分. 条件\circled1\circled{1}不充分，例如 x1=0x_1=0、x2=−12x_2=-\frac12 时 x1>x2x_1>x_2，但 f(0)=−1f(0)=-1，而 f(−12)=14−cos⁡12>−34>−1f\left(-\frac12\right)=\frac14-\cos\frac12>-\frac34>-1. 条件\circled3\circled{3}也不充分，例如 x1=−1x_1=-1、x2=−π2x_2=-\frac\pi2 时 ∣x1∣>x2|x_1|>x_2，但 f(−1)=1−cos⁡1<1<π24=f(−π2)f(-1)=1-\cos1<1<\frac{\pi^2}{4}=f\left(-\frac\pi2\right). 因此填 22. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x2−cos⁡xf(x) = x^2 - \cos x，对于 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] 上的任意 x1x_1，x2x_2，有如下条件：
① x1>x2x_1 > x_2； ② x12>x22x_1^2 > x_2^2； ③ ∣x1∣>x2|x_1| > x_2.
其中能使 f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) 恒成立的条件序号是______.
某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第 kk 棵树种植在点 Pk(xk,yk)P_k(x_k,y_k) 处，其中 x1=1x_1=1，y1=1y_1=1. 当 k⩾2k\geqslant2 时，
{xk=xk−1+1−5[T(k−15)−T(k−25)],yk=yk−1+T(k−15)−T(k−25).\begin{cases} x_k=x_{k-1}+1-5\left[T\left(\dfrac{k-1}{5}\right)-T\left(\dfrac{k-2}{5}\right)\right],\\ y_k=y_{k-1}+T\left(\dfrac{k-1}{5}\right)-T\left(\dfrac{k-2}{5}\right). \end{cases}
T(a)T(a) 表示非负实数 aa 的整数部分，例如 T(2.6)=2T(2.6)=2，T(0.2)=0T(0.2)=0. 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为______；第2008棵树种植点的坐标应为______.

2008 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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