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10集合与逻辑基础★★★★☆
已知 M={(x,y)∣y=x+t(x2−x), 1≤x≤2, 0≤t≤1}M=\left\{ (x,y)\mid y=x+t\left( x^2-x \right),\,1\le x\le 2,\,0\le t\le 1 \right\} 是平面直角坐标系中的点集. 设 dd 是 MM 中两点间距离的最大值，SS 是 MM 表示的图形的面积，则（ ）
A.
d=3d=3，S<1S<1
B.
d=3d=3，S>1S>1
C.
d=10d=\sqrt{10}，S<1S<1
D.
d=10d=\sqrt{10}，S>1S>1

2024 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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10数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1=14(an−6)3+6a_{n+1}=\frac{1}{4}(a_n-6)^3+6（n=1n=1，22，33，…\dots），则（ ）
A.
当 a1=3a_1=3 时，{an}\{a_n\} 为递减数列，且存在常数 M≤0M\le 0，使得 an>Ma_n>M 恒成立
B.
当 a1=5a_1=5 时，{an}\{a_n\} 为递增数列，且存在常数 M≤6M\le 6，使得 an<Ma_n<M 恒成立
C.
当 a1=7a_1=7 时，{an}\{a_n\} 为递减数列，且存在常数 M>6M>6，使得 an>Ma_n>M 恒成立
D.
当 a1=9a_1=9 时，{an}\{a_n\} 为递增数列，且存在常数 M>0M>0，使得 an<Ma_n<M 恒成立

2023 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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08数列★★★★☆
在等差数列 {an}\{a_n\} 中，a1=−9a_1=-9，a3=−1a_3=-1. 记 Tn=a1a2⋯anT_n=a_1a_2\cdots a_n（n=1n=1，22，…\dots），则数列 {Tn}\{T_n\}（ ）
A.
有最大项，有最小项
B.
有最大项，无最小项
C.
无最大项，有最小项
D.
无最大项，无最小项

2020 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 C:x2+y2=1+∣x∣yC:x^2+y^2=1+\left|x\right|y 就是其中之一（如图）. 给出下列三个结论：
① 曲线 CC 恰好经过 66 个整点（即横，纵坐标均为整数的点）； ② 曲线 CC 上任意一点到原点的距离都不超过 2\sqrt2； ③ 曲线 CC 所围成的“心形”区域的面积小于 33.
其中，所有正确结论的序号是（ ）.
A.
①
B.
②
C.
①②
D.
①②③

2019 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
如图，AA，BB 是半径为 22 的圆周上的定点，PP 为圆周上的动点，∠APB\angle APB 是锐角，大小为 β\beta. 图中阴影区域的面积的最大值为（ ）.
A.
4β+4cos⁡β4\beta+4\cos\beta
B.
4β+4sin⁡β4\beta+4\sin\beta
C.
2β+2cos⁡β2\beta+2\cos\beta
D.
2β+2sin⁡β2\beta+2\sin\beta

2019 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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07解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系中，记 dd 为点 P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta,\sin\theta) 到直线 x−my−2=0x-my-2=0 的距离，当 θ\theta，mm 变化时，dd 的最大值为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★★★☆
袋中装有偶数个球，其中红球，黑球各占一半. 甲，乙，丙是三个空盒. 每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒. 重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A.
乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.
乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.
乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.
乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

2016 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08不等式★★★★☆
设关于 xx，yy 的不等式组
{2x−y+1>0,x+m<0,y−m>0\begin{cases} 2x - y + 1 > 0,\\ x + m < 0,\\ y - m > 0 \end{cases}
表示的平面区域内存在点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)，满足 x0−2y0=2x_0 - 2y_0 = 2，则 mm 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,43)\left(-\infty, \frac{4}{3}\right)
B.
(−∞,13)\left(-\infty, \frac{1}{3}\right)
C.
(−∞,−23)\left(-\infty, -\frac{2}{3}\right)
D.
(−∞,−53)\left(-\infty, -\frac{5}{3}\right)

2013 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，PP 为对角线 BD1BD_{1} 的三等分点，PP 到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A.
33 个
B.
44 个
C.
55 个
D.
66 个

2013 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★★☆
某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A.
28+6528 + 6\sqrt{5}
B.
30+6530 + 6\sqrt{5}
C.
56+12556 + 12\sqrt{5}
D.
60+12560 + 12\sqrt{5}

2012 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
设 A(0,0)A(0, 0)，B(4,0)B(4, 0)，C(t+4,4)C(t + 4, 4)，D(t,4)D(t, 4)（t∈Rt \in \mathbf{R}）. 记 N(t)N(t) 为平行四边形 ABCDABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横，纵坐标都是整数的点，则函数 N(t)N(t) 的值域为（ ）
A.
{9,10,11}\{9, 10, 11\}
B.
{9,10,12}\{9, 10, 12\}
C.
{9,11,12}\{9, 11, 12\}
D.
{10,11,12}\{10, 11, 12\}

2011 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 2 ，动点 EE，FF 在棱 A1B1A_{1}B_{1} 上，动点 PP，QQ 分别在棱 ADAD，CDCD 上，若 EF=1EF = 1，A1E=xA_{1}E = x，DQ=yDQ = y，DP=zDP = z（xx，yy，z>0z > 0），则四面体 PEFQPEFQ 的体积（ ）
A.
与 xx，yy，zz 都有关
B.
与 xx 有关，与 yy，zz 无关
C.
与 yy 有关，与 xx，zz 无关
D.
与 zz 有关，与 xx，yy 无关

2010 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 2 ，动点 EE，FF 在棱 A1B1A_{1}B_{1} 上. 点 QQ 是棱 CDCD 的中点，动点 PP 在棱 ADAD 上，若 EF=1EF = 1，DP=xDP = x，A1E=yA_{1}E = y（xx，yy 大于零），则三棱锥 P−EFQP - EFQ 的体积（ ）
A.
与 x,yx, y 都有关
B.
与 xx，yy 都无关
C.
与 xx 有关，与 yy 无关
D.
与 yy 有关，与 xx 无关

2010 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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08解析几何★★★★☆
点 PP 在直线 l:y=x−1l: y = x - 1 上，若存在过 PP 的直线交抛物线 y=x2y = x^2 于 AA，BB 两点，且 ∣PA∣=∣AB∣|PA| = |AB|，则称点 PP 为“AA 点”，那么下列结论中正确的是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 任取直线 ll 上的点 P=(p,p−1)P=(p,p-1). 在抛物线 y=x2y=x^2 上取 A=(m,m2)A=(m,m^2)，并令 B=2A−PB=2A-P，则 AA 是线段 PBPB 的中点，从而 PP，AA，BB 共线且 ∣PA∣=∣AB∣|PA|=|AB|.
只需使 BB 在抛物线上. 由 B=(2m−p,2m2−p+1)B=(2m-p,2m^2-p+1)，条件为 2m2−p+1=(2m−p)22m^2-p+1=(2m-p)^2，即 2m2−4pm+p2+p−1=02m^2-4pm+p^2+p-1=0. 这是关于 mm 的二次方程，其判别式为 Δ=(−4p)2−8(p2+p−1)=8(p2−p+1)>0\Delta=(-4p)^2-8(p^2+p-1)=8(p^2-p+1)>0，所以对任意实数 pp 都有实数解 mm. 此时 BB 在抛物线上. 若 A=BA=B，则 P=AP=A，从而 p2−p+1=0p^2-p+1=0，但该方程的判别式为 −3<0-3<0，矛盾，故 A≠BA\ne B. 因此每个 P∈lP\in l 都是“AA 点”，故选 A. \end{solution}
A.
直线 ll 上的所有点都是“AA 点”
B.
直线 ll 上仅有有限个点是“AA 点”
C.
直线 ll 上的所有点都不是“AA 点”
D.
直线 ll 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“AA 点”

2009 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
如图，动点 PP 在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的对角线 BD1BD_{1} 上. 过点 PP 作垂直于平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D 的直线. 与正方体表面相交于 MNMN. 设 BP=xBP = x，MN=yMN = y，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象大致是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设正方体棱长为 aa，令 t=BPBD1t=\dfrac{BP}{BD_1}，则 0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1，且 BP=a3tBP=a\sqrt3t. 取坐标 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(a,0,0)B=(a,0,0)，C=(a,a,0)C=(a,a,0)，D=(0,a,0)D=(0,a,0)，A1=(0,0,a)A_1=(0,0,a)，B1=(a,0,a)B_1=(a,0,a)，D1=(0,a,a)D_1=(0,a,a). 于是 P=(a(1−t),at,at)P=(a(1-t),at,at).
平面 BB1D1DBB_1D_1D 的方程为 x+y=ax+y=a，其法向量可取 (1,1,0)(1,1,0). 过 PP 的垂线保持 z=atz=at，在正方形截面 0⩽x0\leqslant x，y⩽ay\leqslant a 中沿方向 (1,1)(1,1) 通过 PP. 当 0⩽t⩽120\leqslant t\leqslant\frac12 时，直线段 MNMN 的两个端点为 (a(1−2t),0,at)(a(1-2t),0,at) 和 (a,2at,at)(a,2at,at)，故 MN=22atMN=2\sqrt2at；当 12⩽t⩽1\frac12\leqslant t\leqslant1 时，两个端点为 (0,a(2t−1),at)(0,a(2t-1),at) 和 (a(2−2t),a,at)(a(2-2t),a,at)，故 MN=22a(1−t)MN=2\sqrt2a(1-t). 因而 MN=22amin⁡{t,1−t}MN=2\sqrt2a\min\{t,1-t\}.
代入 t=xa3t=\dfrac{x}{a\sqrt3}，得到 y=22amin⁡{xa3,1−xa3}y=2\sqrt2a\min\left\{\dfrac{x}{a\sqrt3},1-\dfrac{x}{a\sqrt3}\right\}. 因而 yy 从 x=0x=0 时的 00 线性增加，在 x=a32x=\frac{a\sqrt3}{2} 处达到最大值，再线性减小到 x=a3x=a\sqrt3 时的 00. 图象是关于 x=a32x=\frac{a\sqrt3}{2} 对称的折线三角形，故选 B. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2008 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
如图，动点 PP 在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的对角线 BD1BD_{1} 上. 过点 PP 作垂直于平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D 的直线，与正方体表面相交于 MNMN. 设 BP=xBP = x，MN=yMN = y，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2008 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
对于函数
① f(x)=lg⁡(∣x−2∣+1)f(x)=\lg(|x-2|+1)； ② f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2； ③ f(x)=cos⁡(x+2)f(x)=\cos(x+2).
判断如下三个命题的真假：
命题甲：f(x+2)f(x+2) 是偶函数；
命题乙：f(x)f(x) 在 (−∞,2)(-\infty,2) 上是减函数，在 (2,+∞)(2,+\infty) 上是增函数；
命题丙：f(x+2)−f(x)f(x+2)-f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上是增函数.
能使命题甲，乙，丙均为真的所有函数的序号是（ ）
A.
①③
B.
①②
C.
③
D.
②

2007 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★★☆
平面 α\alpha ∥\parallel 平面 β\beta 的一个充分条件是（ ）
A.
存在一条直线 aa，a∥αa \parallel \alpha，a∥βa \parallel \beta
B.
存在一条直线 aa，a⊂αa \subset \alpha，a∥βa \parallel \beta
C.
存在两条平行直线 aa，bb，a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥βa \parallel \beta，b∥αb \parallel \alpha
D.
存在两条异面直线 aa，bb，a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥βa \parallel \beta，b∥αb \parallel \alpha

2007 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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