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17概率与统计★★★★☆
现从全校学生中随机抽取 200 人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下：
以频率估计概率，完成下列问题：
(1) 求数学成绩低于 120 分的概率； (2) 从学校随机抽取 4 人，求 2 人不低于 120 且 2 人小于 94 的概率； (3) 每组数据取左端，中间，右端，比较 s左2s_{\text{左}}^2，s中2s_{\text{中}}^2，s右2s_{\text{右}}^2 的大小关系.

2026 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ，AB=AC=2AB=AC=2，BB1=2BB_1=\sqrt{2}，EE，DD 分别为 A1B1A_1B_1，ACAC 的中点.
(1) 证明：DE//平面 BB1C1CDE // \text{平面}\, BB_1C_1C； (2) 点 PP 在平面 A1B1C1A_1B_1C_1 内，且 EP//B1C1EP//B_1C_1，再从条件\circled1\circled{1}，条件\circled2\circled{2}，条件\circled3\circled{3}这三个条件中选择一个作为已知，使得 PP 唯一确定，求平面 PADPAD 与平面 PDEPDE 的夹角的余弦值.
条件\circled1\circled{1}：PA=PDPA=PD；
条件\circled2\circled{2}：PA⊥BCPA\perp BC；
条件\circled3\circled{3}：BB1//平面 PDEBB_1 // \text{平面}\, PDE.

2026 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★★☆
关于定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x)，以下说法正确的有（ ）
A.
存在在 R\mathbf{R} 上单调递增的函数 f(x)f(x)，使 f(x)+f(2x)=−xf(x)+f(2x)=-x 恒成立
B.
存在在 R\mathbf{R} 上单调递减的函数 f(x)f(x)，使 f(x)+f(2x)=−xf(x)+f(2x)=-x 恒成立
C.
存在且有无穷多个函数 f(x)f(x)，满足 f(x)+f(−x)=cos⁡xf(x)+f(-x)=\cos x
D.
存在且有无穷多个函数 f(x)f(x)，满足 f(x)−f(−x)=cos⁡xf(x)-f(-x)=\cos x

2025 · 北京 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，cos⁡A=−13\cos A=-\dfrac13，asin⁡C=42a\sin C=4\sqrt2.
(1) 求 cc； (2) 在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 △ABC\triangle ABC 存在，求 BCBC 的高.
\circled1 a=6\text{\circled{1}} \, a=6，\circled2 bsin⁡C=1023\text{\circled{2}} \, b\sin C= \frac{10\sqrt2}{3}，\circled3 S△ABC=102\text{\circled{3}} \, S_{\triangle ABC}=10\sqrt2

2025 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），其离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，椭圆上一点到两焦点距离之和为 44.
(1) 求椭圆方程； (2) 设 O=(0,0)O=(0,0)，M(x0,y0)M(x_0,y_0)（x0≠0x_0\ne0）为椭圆上一点，直线 x0x+2y0y−4=0x_0x+2y_0y-4=0 与直线 y=2y=2，y=−2y=-2 交于 AA，BB. S1S_1，S2S_2 分别为 △OAM\triangle OAM 与 △OBM\triangle OBM 的面积，比较 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 与 ∣OA∣∣OB∣\dfrac{|OA|}{|OB|} 的大小.

2025 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），以椭圆 EE 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形. 过点 (0,t)(0,t)（t>2t>\sqrt{2}）且斜率存在的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 AA，BB，过点 AA 和 C(0,1)C(0,1) 的直线 ACAC 与椭圆 EE 的另一个交点为 DD.
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率； (2) 若直线 BDBD 的斜率为 0，求 tt 的值.

2024 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的离心率为 53\dfrac{\sqrt{5}}{3}，AA，CC 分别是 EE 的上，下顶点，BB，DD 分别是 EE 的左，右顶点，∣AC∣=4|AC|=4.
(1) 求 EE 的方程； (2) 设 PP 为第一象限内 EE 上的动点，直线 PDPD 与直线 BCBC 交于点 MM，直线 PAPA 与直线 y=−2y=-2 交于点 NN. 求证：MN∥CDMN\parallel CD.

2023 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,1)A(0,1)，焦距为 232\sqrt3.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 过点 P(−2,1)P(-2,1) 作斜率为 kk 的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 BB，CC，直线 ABAB，ACAC 分别与 xx 轴交于点 MM，NN. 当 ∣MN∣=2|MN|=2 时，求 kk 的值.

2022 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为 A1D1A_1D_1 的中点，B1C1B_1C_1 与平面 CDECDE 交于点 FF.
(1) 求证：FF 为 B1C1B_1C_1 中点； (2) 若 MM 是棱 A1B1A_1B_1 上一点，且二面角 M−FC−EM-FC-E 的余弦值为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，求 A1MA1B1\dfrac{A_1M}{A_1B_1} 的值.

2021 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,−2)A(0,-2)，以椭圆 EE 的四个顶点为顶点的四边形面积为 454\sqrt5.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 过点 P(0,−3)P(0,-3) 斜率为 kk 的直线 ll 与椭圆 EE 交于不同的两点 BB，CC，直线 ABAB，ACAC 分别与直线 y=−3y=-3 交于 MM，NN. 当 ∣PM∣+∣PN∣≤15|PM|+|PN|\le15 时，求 kk 的取值范围.

2021 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 过点 A(−2,−1)A(-2,-1)，且 a=2ba=2b.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 过点 B(−4,0)B(-4,0) 的直线 ll 交椭圆 CC 于点 MM，NN，直线 MAMA，NANA 分别交直线 x=−4x=-4 于点 PP，QQ. 求 ∣PBBQ∣\left|\dfrac{PB}{BQ}\right| 的值.

2020 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:x2=−2pyC:x^2=-2py 经过点 (2,−1)(2,-1).
(1) 求抛物线 CC 的方程及其准线方程； (2) 设 OO 为原点，过抛物线 CC 的焦点作斜率不为 00 的直线 ll 交抛物线 CC 于两点 MM，NN，直线 y=−1y=-1 分别交直线 OMOM，ONON 于点 AA 和点 BB，求证：以 ABAB 为直径的圆经过 yy 轴上的两个定点.

2019 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=14x3−x2+xf(x)=\dfrac14x^3-x^2+x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率为 11 的切线方程； (2) 当 x∈[−2,4]x\in[-2,4] 时，求证：x−6≤f(x)≤xx-6\le f(x)\le x； (3) 设 F(x)=∣f(x)−(x+a)∣F(x)=\left|f(x)-(x+a)\right|（a∈Ra\in\mathbf{R}），记 F(x)F(x) 在区间 [−2,4][-2,4] 上的最大值为 M(a)M(a)，当 M(a)M(a) 最小时，求 aa 的值.

2019 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 的右焦点为 (1,0)(1,0)，且经过点 A(0,1)A(0,1).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 OO 为原点，直线 l:y=kx+tl:y=kx+t（t≠±1t\ne\pm1）与椭圆 CC 交于两个不同点 PP，QQ，直线 APAP 与 xx 轴交于点 MM，直线 AQAQ 与 xx 轴交于点 NN，若 ∣OM∣⋅∣ON∣=2\lvert OM\rvert\cdot\lvert ON\rvert=2，求证：直线 ll 经过定点.

2019 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=14x3−x2+xf(x)=\dfrac14x^3-x^2+x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率为 11 的切线方程； (2) 当 x∈[−2,4]x\in\left[-2,4\right] 时，求证：x−6≤f(x)≤xx-6\le f(x)\le x； (3) 设 F(x)=∣f(x)−(x+a)∣F(x)=\lvert f(x)-(x+a)\rvert（a∈Ra\in\mathbf{R}），记 F(x)F(x) 在区间 [−2,4]\left[-2,4\right] 上的最大值为 M(a)M(a)，当 M(a)M(a) 最小时，求 aa 的值.

2019 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，CC1⊥CC_1\perp 平面 ABCABC，DD，EE，FF，GG 分别为 AA1AA_1，ACAC，A1C1A_1C_1，BB1BB_1 的中点，AB=BC=5AB=BC=\sqrt5，AC=AA1=2AC=AA_1=2.
(1) 求证：AC⊥AC\perp 平面 BEFBEF； (2) 求二面角 B−CD−C1B-CD-C_1 的余弦值； (3) 证明：直线 FGFG 与平面 BCDBCD 相交.

2018 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 经过点 P(1,2)P(1,2). 过点 Q(0,1)Q(0,1) 的直线 ll 与抛物线 CC 有两个不同的交点 AA，BB，且直线 PAPA 交 yy 轴于 MM，直线 PBPB 交 yy 轴于 NN.
(1) 求直线 ll 的斜率的取值范围； (2) 设 OO 为原点，QM→=λQO→\overrightarrow{QM}=\lambda\overrightarrow{QO}，QN→=μQO→\overrightarrow{QN}=\mu\overrightarrow{QO}，求证：1λ+1μ\dfrac1\lambda+\dfrac1\mu 为定值.

2018 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为正方形，平面 PAD⊥PAD\perp 平面 ABCDABCD，点 MM 在线段 PBPB 上，PD∥PD\parallel 平面 MACMAC，PA=PD=6PA=PD=\sqrt6，AB=4AB=4.
(1) 求证：MM 为 PBPB 的中点； (2) 求二面角 B−PD−AB-PD-A 的大小； (3) 求直线 MCMC 与平面 BDPBDP 所成角的正弦值.

2017 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 过点 P(1,1)P(1,1). 过点 (0,12)\left(0,\dfrac12\right) 作直线 ll 与抛物线 CC 交于不同的两点 MM，NN，过点 MM 作 xx 轴的垂线分别与直线 OPOP，ONON 交于点 AA，BB，其中 OO 为原点.
(1) 求抛物线 CC 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2) 求证：AA 为线段 BMBM 的中点.

2017 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的两个顶点分别为 A(−2,0)A(-2,0)，B(2,0)B(2,0)，焦点在 xx 轴上，离心率为 32\dfrac{\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 点 DD 为 xx 轴上一点，过 DD 作 xx 轴的垂线交椭圆 CC 于不同的两点 MM，NN，过 DD 作 AMAM 的垂线交 BNBN 于点 EE. 求证：△BDE\triangle BDE 与 △BDN\triangle BDN 的面积之比为 4:54:5.

2017 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，平面 PAD⊥PAD\perp 平面 ABCDABCD，PA⊥PDPA\perp PD，PA=PDPA=PD，AB⊥ADAB\perp AD，AB=1AB=1，AD=2AD=2，AC=CD=5AC=CD=\sqrt5.
(1) 求证：PD⊥PD\perp 平面 PABPAB； (2) 求直线 PBPB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值； (3) 在棱 PAPA 上是否存在点 MM，使得 BM∥BM\parallel 平面 PCDPCD？若存在，求 AMAP\dfrac{AM}{AP} 的值，若不存在，说明理由.

2016 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 32\dfrac{\sqrt3}{2}，A(a,0)A(a,0)，B(0,b)B(0,b)，O(0,0)O(0,0)，△OAB\triangle OAB 的面积为 11.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 PP 是椭圆 CC 上一点，直线 PAPA 与 yy 轴交于点 MM，直线 PBPB 与 xx 轴交于点 NN. 求证：∣AN∣⋅∣BM∣|AN|\cdot|BM| 为定值.

2016 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 过点 A(2,0)A(2,0)，B(0,1)B(0,1) 两点.
(1) 求椭圆 CC 的方程及离心率； (2) 设 PP 为第三象限内一点且在椭圆 CC 上，直线 PAPA 与 yy 轴交于点 MM，直线 PBPB 与 xx 轴交于点 NN，求证：四边形 ABNMABNM 的面积为定值.

2016 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 A−EFCBA-EFCB 中，△AEF\triangle AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥AEF \perp 平面 EFCBEFCB，EF∥BCEF \parallel BC，BC=4BC=4，EF=2aEF=2a，∠EBC=∠FCB=60∘\angle EBC=\angle FCB=60^\circ，OO 为 EFEF 的中点.
(1) 求证：AO⊥BEAO \perp BE； (2) 求二面角 F−AE−BF-AE-B 的余弦值； (3) 若 BE⊥BE \perp 平面 AOCAOC，求 aa 的值.

2015 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡1+x1−xf(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 求证：当 x∈(0,1)x\in(0,1) 时，f(x)>2(x+x33)f(x)>2\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)； (3) 设实数 kk 使得 f(x)>k(x+x33)f(x)>k\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right) 对 x∈(0,1)x\in(0,1) 恒成立，求 kk 的最大值.

2015 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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