已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1} = 3$，且 $\frac{2a_{n+1} - a_{n}}{2a_{n} - a_{n+1}} = a_{n}a_{n+1}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设 $S_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdots + a_{n}^{2}$，$T_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}^{2}}$，求 $S_{n} + T_{n}$，并确定最小正整数 $n$，使 $S_{n} + T_{n}$ 为整数.