如图，设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 只有一个公共点 $P$，且点 $P$ 在第一象限.

(1) 已知直线 $l$ 的斜率为 $k$，用 $a$，$b$，$k$ 表示点 $P$ 的坐标； (2) 若过原点 $O$ 的直线 $l_{1}$ 与 $l$ 垂直，证明：点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 的距离的最大值为 $a - b$.

已知函数 $f(x) = x^3 + 3|x - a|$（$a \in \mathbf{R}$）.

(1) 若 $f(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上的最大值和最小值分别记为 $M(a)$，$m(a)$，求 $M(a) - m(a)$； (2) 设 $b \in \mathbf{R}$，若 $\left[f(x) + b\right]^2 \leqslant 4$ 对 $x \in [-1, 1]$ 恒成立，求 $3a + b$ 的取值范围.