设函数 $f(x) = x^{2} + b \ln (x + 1)$，其中 $b \neq 0$.

(1) 当 $b > \frac{1}{2}$ 时，判断函数 $f(x)$ 在定义域上的单调性； (2) 求函数 $f(x)$ 的极值点； (3) 证明对任意的正整数 $n$，不等式 $\ln \left(\frac{1}{n} + 1\right) > \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}$ 都成立.