已知定点 $A(-1,0)$，$F(2,0)$，定直线 $l: x = \frac{1}{2}$，不在 $x$ 轴上的动点 $P$ 与点 $F$ 的距离是它到直线 $l$ 的距离的 $2$ 倍. 设点 $P$ 的轨迹为 $E$，过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $B$，$C$ 两点，直线 $AB$，$AC$ 分别交 $l$ 于点 $M$，$N$.

(1) 求 $E$ 的方程； (2) 试判断以线段 $MN$ 为直径的圆是否过点 $F$，并说明理由.

设 $f(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x}$（$a > 0$ 且 $a \ne 1$），$g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数.

(1) 设关于 $x$ 的方程 $\log_{a} \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)} = g(x)$ 在区间 $[2,6]$ 上有实数解，求 $t$ 的取值范围. (2) 当 $a = \mathrm{e}$（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）时，证明：$\sum_{k=2}^{n} g(k) > \frac{2 - n - n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}$； (3) 当 $0 < a \leqslant \frac{1}{2}$ 时，试比较 $\left| \sum_{k=1}^{n} f(k) - n \right|$ 与 $4$ 的大小，并说明理由.