设函数 $f_{n}(x) = -1 + x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \cdots + \frac{x^{n}}{n^{2}}$ （$x \in \mathbf{R}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$）. 证明：

(1) 对每个 $n \in \mathbf{N}^*$，存在唯一的 $x_n \in \left[\frac{2}{3}, 1\right]$，满足 $f_n(x_n) = 0$； (2) 对任意 $p \in \mathbf{N}^*$，由上一问中 $x_n$ 构成的数列 $\{x_n\}$ 满足 $0 < x_n - x_{n+p} < \frac{1}{n}$.

某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动. 分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 $n$ 位学生，每次活动均需该系 $k$ 位学生参加（$n$ 和 $k$ 都是固定的正整数）. 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给该系 $k$ 位学生，且所发信息都能收到. 记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 $X$.

(1) 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2) 求使 $P(X = m)$ 取得最大值的整数 $m$.