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01复数★★☆☆☆
设 i\mathrm{i} 是虚数单位，z‾\overline{z} 是复数 zz 的共轭复数，若 z⋅z‾i+2=2zz \cdot \overline{z}\mathrm{i} + 2 = 2z，则 z=z =（ ）
A.
1+i1 + \mathrm{i}
B.
1−i1 - \mathrm{i}
C.
−1+i-1 + \mathrm{i}
D.
−1−i-1 - \mathrm{i}

2013 · 安徽 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02数列★★☆☆☆
如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A.
16\frac{1}{6}
B.
2524\frac{25}{24}
C.
34\frac{3}{4}
D.
1112\frac{11}{12}

2013 · 安徽 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★☆☆☆☆
在下列命题中，不是公理的是（ ）
A.
平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.
过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

2013 · 安徽 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★★☆☆
“a⩽0a \leqslant 0”是“函数 f(x)=∣(ax−1)x∣f(x) = |(ax - 1)x| 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 内单调递增”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2013 · 安徽 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86，94，88，92，90. 五名女生的成绩分别为 88，93，93，88，93. 下列说法一定正确的是（ ）
A.
这种抽样方法是一种分层抽样
B.
这种抽样方法是一种系统抽样
C.
这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D.
该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

2013 · 安徽 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
已知一元二次不等式 f(x)<0f(x) < 0 的解集为 {x∣x<−1 或 x>12}\left\{x \mid x < -1 \text{\ 或\ } x > \frac{1}{2}\right\}，则 f(10x)>0f(10^x) > 0 的解集为（ ）
A.
{x∣x<−1 或 x>−lg⁡2}\{x \mid x < -1 \text{\ 或\ } x > -\lg 2\}
B.
{x∣−1<x<−lg⁡2}\{x \mid -1 < x < -\lg 2\}
C.
{x∣x>−lg⁡2}\{x \mid x > -\lg 2\}
D.
{x∣x<−lg⁡2}\{x \mid x < -\lg 2\}

2013 · 安徽 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，圆 ρ=2cos⁡θ\rho = 2\cos \theta 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A.
θ=0\theta = 0（ρ∈R\rho \in \mathbf{R}）和 ρcos⁡θ=2\rho \cos \theta = 2
B.
θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}（ρ∈R\rho \in \mathbf{R}）和 ρcos⁡θ=2\rho \cos \theta = 2
C.
θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}（ρ∈R\rho \in \mathbf{R}）和 ρcos⁡θ=1\rho \cos \theta = 1
D.
θ=0\theta = 0（ρ∈R\rho \in \mathbf{R}）和 ρcos⁡θ=1\rho \cos \theta = 1

2013 · 安徽 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
函数 y=f(x)y = f(x) 的图象如图所示，在区间 [a,b][a, b] 上可找到 nn（n⩾2n \geqslant 2） 个不同的数 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n，使得 f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(xn)xn\frac{f(x_1)}{x_1} = \frac{f(x_2)}{x_2} = \cdots = \frac{f(x_n)}{x_n}，则 nn 的取值范围为（ ）
A.
{2,3}\{2, 3\}
B.
{2,3,4}\{2, 3, 4\}
C.
{3,4}\{3, 4\}
D.
{3,4,5}\{3, 4, 5\}

2013 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系中， OO 是坐标原点，两定点 AA，BB 满足 ∣OA→∣=∣OB→∣=OA→⋅OB→=2\left|\overrightarrow{OA}\right| = \left|\overrightarrow{OB}\right| = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2，则点集 {P∣OP→=λOA→+μOB→,∣λ∣+∣μ∣⩽1,λ,μ∈R}\left\{P \mid \overrightarrow{OP} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}, |\lambda| + |\mu| \leqslant 1, \lambda, \mu \in \mathbf{R}\right\} 所表示的区域的面积是（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
232\sqrt{3}
C.
424\sqrt{2}
D.
434\sqrt{3}

2013 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
若函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 有极值点 x1x_1，x2x_2，且 f(x1)=x1f(x_1) = x_1，则关于 xx 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=03(f(x))^2 + 2af(x) + b = 0 的不同实数根个数是（ ）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

2013 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x+ax3)8\left(x + \frac{a}{\sqrt[3]{x}}\right)^8 的展开式中 x4x^4 的系数为7，则实数 a=a =______.

2013 · 安徽 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对边的长分别为 aa，bb，cc. 若 b+c=2ab + c = 2a，3sin⁡A=5sin⁡B3\sin A = 5\sin B，则角 C=C =______.

2013 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
已知直线 y=ay = a 交抛物线 y=x2y = x^2 于 AA，BB 两点，若该抛物线上存在点 CC，使得 ∠ACB\angle ACB 为直角，则 aa 的取值范围为______.

2013 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
如图，互不相同的点 A1A_{1}，A2A_{2}，⋯\cdots，AnA_{n}，⋯\cdots 和 B1B_{1}，B2B_{2}，⋯\cdots，BnB_{n}，⋯\cdots 分别在角 OO 的两条边上. 所有 AnBnA_{n}B_{n} 相互平行，且所有梯形 AnBnBn+1An+1A_{n}B_{n}B_{n+1}A_{n+1} 的面积均相等. 设 OAn=anOA_{n} = a_{n}. 若 a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，则数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式是______.

2013 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 11，PP 为 BCBC 中点，QQ 为线段 CC1CC_{1} 上的动点，过 AA，PP，QQ 的平面截该正方体所得的截面记为 SS，则下列命题正确的是______.（写出所有正确命题的编号）
① 当 0<CQ<120 < CQ < \frac{1}{2} 时，SS 为四边形； ② 当 CQ=12CQ = \frac{1}{2} 时，SS 为等腰梯形； ③ 当 CQ=34CQ = \frac{3}{4} 时，SS 与 C1D1C_{1}D_{1} 交点 RR 满足 C1R=13C_{1}R = \frac{1}{3}； ④ 当 34<CQ<1\frac{3}{4} < CQ < 1 时，SS 为六边形； ⑤ 当 CQ=1CQ = 1 时，SS 的面积为 62\frac{\sqrt{6}}{2}.

2013 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=4cos⁡ωx⋅sin⁡(ωx+π4)f(x) = 4\cos \omega x \cdot \sin \left( \omega x + \frac{\pi}{4} \right)（ω>0\omega > 0）的最小正周期为 π\pi.
(1) 求 ω\omega 的值； (2) 讨论 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上的单调性.

2013 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ax−(1+a2)x2f(x) = ax - (1 + a^2)x^2，其中 a>0a > 0，区间 I={x∣f(x)>0}I = \{x \mid f(x) > 0\}.
(1) 求 II 的长度（注：区间 (α,β)(\alpha, \beta) 的长度定义为 β−α\beta - \alpha）； (2) 给定常数 k∈(0,1)k \in (0,1)，当 1−k⩽a⩽1+k1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k 时，求 II 长度的最小值.

2013 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 E:x2a2+y21−a2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{1-a^2} = 1 的焦点在 xx 轴上.
(1) 若椭圆 EE 的焦距为 11，求椭圆 EE 的方程； (2) 设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 EE 的左，右焦点，PP 为椭圆 EE 上第一象限内的点. 直线 F2PF_{2}P 交 yy 轴于点 QQ，并且 F1P⊥F1QF_{1}P \perp F_{1}Q，证明：当 aa 变化时，点 PP 在某定直线上.

2013 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，圆锥顶点为 PP. 底面圆心为 OO，其母线与底面所成的角为 22.5∘22.5^{\circ}. ABAB 和 CDCD 是底面圆 OO 上的两条平行的弦，轴 OPOP 与平面 PCDPCD 所成的角为 60∘60^{\circ}.
(1) 证明：平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 的交线平行于底面； (2) 求 cos⁡∠COD\cos\angle COD.

2013 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 fn(x)=−1+x+x222+x332+⋯+xnn2f_{n}(x) = -1 + x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \cdots + \frac{x^{n}}{n^{2}} （x∈Rx \in \mathbf{R}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）. 证明：
(1) 对每个 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，存在唯一的 xn∈[23,1]x_n \in \left[\frac{2}{3}, 1\right]，满足 fn(xn)=0f_n(x_n) = 0； (2) 对任意 p∈N∗p \in \mathbf{N}^*，由上一问中 xnx_n 构成的数列 {xn}\{x_n\} 满足 0<xn−xn+p<1n0 < x_n - x_{n+p} < \frac{1}{n}.

2013 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动. 分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 nn 位学生，每次活动均需该系 kk 位学生参加（nn 和 kk 都是固定的正整数）. 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给该系 kk 位学生，且所发信息都能收到. 记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 XX.
(1) 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2) 求使 P(X=m)P(X = m) 取得最大值的整数 mm.

2013 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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