已知函数 $f(x) = ax^2 + bx - \ln x$（$a$，$b \in \mathbf{R}$）.

(1) 设 $a \geqslant 0$，求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 设 $a > 0$，且对任意 $x > 0$，$f(x) \geqslant f(1)$，试比较 $\ln a$ 与 $-2b$ 的大小.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C$ 的中心在原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，短轴长为 2，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) $A$，$B$ 为椭圆 $C$ 上满足 $\triangle AOB$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ 的任意两点，$E$ 为线段 $AB$ 的中点，射线 $OE$ 交椭圆 $C$ 于点 $P$. 设 $\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{OE}$，求实数 $t$ 的值.