已知抛物线 $C_1: x^2 = 4y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_2: \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个焦点，$C_1$ 与 $C_2$ 的公共弦长为 $2\sqrt{6}$.

(1) 求 $C_{2}$ 的方程； (2) 过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_1$ 相交于 $A$，$B$ 两点，与 $C_2$ 相交于 $C$，$D$ 两点，且 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 同向.

① 若 $|AC| = |BD|$，求直线 $l$ 的斜率； ② 设 $C_1$ 在点 $A$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $M$，证明： 直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时，$\triangle MFD$ 总是钝角三角形.

已知 $a > 0$，函数 $f(x) = \mathrm{e}^{ax}\sin x$ （$x \in [0, +\infty)$），记 $x_n$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n$ （$n \in \mathbf{N}^*$）个极值点. 证明：

(1) 数列 $\left\{f(x_{n})\right\}$ 是等比数列； (2) 若 $a \geqslant \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^{2} - 1}}$，则对一切 $n \in \mathbf{N}^*$，$x_n < |f(x_n)|$ 恒成立.