$f(x)=\lg \frac{1+2^x+\cdots+(n-1)^x+n^xa}{n}$，其中 $a$ 是实数，$n$ 是任意自然数且 $n\geqslant 2$.

(1) 如果 $f(x)$ 当 $x\in(-\infty,1]$ 时有意义，求 $a$ 的取值范围； (2) 如果 $a\in(0,1]$，证明：$2f(x)<f(2x)$ 当 $x\neq 0$ 时成立.