已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_n = 2(b_{n + 1} - b_n)$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 若 $b_{n} = 3n + 5$，且 $a_{1} = 1$，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设 $\{a_{n}\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项，即 $a_{n_0} \geqslant a_n$ （$n \in \mathbf{N}^*$）. 求证： $\{b_n\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项； (3) 设 $a_1 = \lambda < 0$，$b_n = \lambda^n$（$n \in \mathbf{N}^*$）. 求 $\lambda$ 的取值范围，使得 $\{a_n\}$ 有最大值 $M$ 与最小值 $m$，且 $\frac{M}{m} \in (-2, 2)$.

对于定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $g(x)$. 若存在正常数 $T$，使 $\cos g(x)$ 是以 $T$ 为周期的函数，则称 $g(x)$ 为余弦周期函数，且称 $T$ 为其余周期. 已知 $f(x)$ 是以 $T$ 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 $\mathbf{R}$. 设 $f(x)$ 单调递增，$f(0) = 0$，$f(T) = 4\pi$.

(1) 验证 $h(x) = x + \sin \frac{x}{3}$ 是以 $6\pi$ 为余弦周期的余弦周期函数； (2) 设 $a < b$，证明对任意 $c \in [f(a), f(b)]$，存在 $x_0 \in [a, b]$，使得 $f(x_0) = c$； (3) 证明：“$u_0$ 为方程 $\cos f(x) = 1$ 在 $[0, T]$ 上的解”的充要条件是“$u_0 + T$ 为方程 $\cos f(x) = 1$ 在 $[T, 2T]$ 上的解”，并证明对任意 $x \in [0, T]$ 都有 $f(x + T) = f(x) + f(T)$.