如图，已知椭圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的中心在坐标原点 $O$，长轴均为 $MN$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2m$，$2n$（$m > n$），过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_1$，$C_2$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A$，$B$，$C$，$D$，记 $\lambda = \frac{m}{n}$，$\triangle BDM$ 和 $\triangle ABN$ 的面积分别为 $S_1$ 和 $S_2$.

(1) 当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_{1} = \lambda S_{2}$，求 $\lambda$ 的值； (2) 当 $\lambda$ 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 $l$ 使得 $S_{1} = \lambda S_{2}$ 并说明理由.

设 $n$ 为正整数，$r$ 为正有理数.

(1) 求函数 $f(x) = (1 + x)^{r + 1} - (r + 1)x - 1$（$x > -1$）的最小值； (2) 证明： $\frac{n^{r+1} - (n-1)^{r+1}}{r+1} < n^{r} < \frac{(n+1)^{r+1} - n^{r+1}}{r+1}$； (3) 设 $x \in \mathbf{R}$，记 $[x]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $[2] = 2$，$[\pi] = 4$，$\left[\frac{3}{-2}\right] = -1$. 令 $S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + \cdots + \sqrt[3]{125}$，求 $[S]$ 的值.（参考数据： $80^{\frac{4}{3}} \approx 344.7$，$81^{\frac{4}{3}} \approx 350.5$，$124^{\frac{4}{3}} \approx 618.3$，$126^{\frac{4}{3}} \approx 631.7$）