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01复数★☆☆☆☆
在复平面内，复数 z=2i1+iz = \frac{2\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}}（i\mathrm{i} 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2013 · 湖北 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知全集为 R\mathbf{R}. 集合 A={x∣(12)x⩽1}A = \left\{x \mid \left(\frac{1}{2}\right)^x \leqslant 1\right\}，B={x∣x2−6x+8⩽0}B = \{x \mid x^2 - 6x + 8 \leqslant 0\}，则 A∩∁RB=A \cap \complement_{\mathbf{R}} B =（ ）
A.
{x∣x⩽0}\{x \mid x \leqslant 0\}
B.
{x∣2⩽x⩽4}\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 4\}
C.
{x∣0⩽x<2}\{x \mid 0 \leqslant x < 2\} 或 {x∣x>4}\{x \mid x > 4\}
D.
{x∣0<x⩽2}\{x \mid 0 < x \leqslant 2\} 或 {x∣x⩾4}\{x \mid x \geqslant 4\}

2013 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
在一次跳伞训练中，甲，乙两位学员各跳一次. 设命题 pp 是“甲降落在指定范围”，qq 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A.
(¬p)∨(¬q)(\neg p) \vee (\neg q)
B.
p∨(¬q)p \vee (\neg q)
C.
(¬p)∧(¬q)(\neg p) \wedge (\neg q)
D.
p∨qp \vee q

2013 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
将函数 y=3cos⁡x+sin⁡xy = \sqrt{3} \cos x + \sin x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的图像向左平移 mm（m>0m > 0）个单位长度后，所得到的图象关于 yy 轴对称. 则 mm 的最小值是（ ）
A.
π12\frac{\pi}{12}
B.
π6\frac{\pi}{6}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2013 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
已知 0<θ<π40 < \theta < \frac{\pi}{4}，则双曲线 C1:x2cos⁡2θ−y2sin⁡2θ=1C_1: \frac{x^{2}}{\cos^{2}\theta} - \frac{y^{2}}{\sin^{2}\theta} = 1 与 C2:y2sin⁡2θ−x2sin⁡2θtan⁡2θ=1C_2: \frac{y^{2}}{\sin^{2}\theta} - \frac{x^{2}}{\sin^{2}\theta \tan^{2}\theta} = 1 的（ ）
A.
实轴长相等
B.
虚轴长相等
C.
焦距相等
D.
离心率相等

2013 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★☆☆☆☆
已知点 A(−1,1)A(-1,1)，B(1,2)B(1,2)，C(−2,−1)C(-2,-1)，D(3,4)D(3,4). 则向量 AB→\overrightarrow{AB} 在 CD→\overrightarrow{CD} 方向上的投影为（ ）
A.
322\frac{3\sqrt{2}}{2}
B.
3152\frac{3\sqrt{15}}{2}
C.
−322-\frac{3\sqrt{2}}{2}
D.
−3152-\frac{3\sqrt{15}}{2}

2013 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★★☆☆
一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)=7−3t+251+tv(t) = 7 - 3t + \frac{25}{1 + t}（tt 的单位：s\mathrm{s}，vv 的单位：m/s\mathrm{m/s}）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m\mathrm{m}）是（ ）
A.
1+25ln⁡51 + 25\ln 5
B.
8+25ln⁡1138 + 25\ln \frac{11}{3}
C.
4+25ln⁡54 + 25\ln 5
D.
4+50ln⁡24 + 50\ln 2

2013 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 V1V_{1}，V2V_{2}，V3V_{3}，V4V_{4}. 上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）
A.
V1<V2<V4<V3V_{1} < V_{2} < V_{4} < V_{3}
B.
V1<V3<V2<V4V_{1} < V_{3} < V_{2} < V_{4}
C.
V2<V1<V3<V4V_{2} < V_{1} < V_{3} < V_{4}
D.
V2<V3<V1<V4V_{2} < V_{3} < V_{1} < V_{4}

2013 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记其涂漆面数为 XX，则 XX 的均值 E(X)=E(X) =（ ）
A.
126125\frac{126}{125}
B.
65\frac{6}{5}
C.
168125\frac{168}{125}
D.
75\frac{7}{5}

2013 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
已知 aa 为常数，函数 f(x)=x(ln⁡x−ax)f(x) = x(\ln x - ax) 有两个极值点 x1x_1，x2x_2（x1<x2x_1 < x_2），则（ ）
A.
f(x1)>0f(x_1) > 0，f(x2)>−12f(x_2) > -\frac{1}{2}
B.
f(x1)<0f(x_1) < 0，f(x2)<−12f(x_2) < -\frac{1}{2}
C.
f(x1)>0f(x_1) > 0，f(x2)<−12f(x_2) < -\frac{1}{2}
D.
f(x1)<0f(x_1) < 0，f(x2)>−12f(x_2) > -\frac{1}{2}

2013 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★★☆☆☆
从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示.
(1) 直方图中 xx 的值为______； (2) 在这些用户中，用电量落在区间 [100,250)[100,250) 内的户数为______.

2013 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 i=‾i=\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 xx，yy，z∈Rz \in \mathbf{R}，且满足：x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1，x+2y+3z=14x + 2y + 3z = \sqrt{14}，则 x+y+z=‾x + y + z =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 11，33，66，1010，⋯\cdots，第 nn 个三角形数为 n(n+1)2=12n2+12n\frac{n(n + 1)}{2} = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n. 记第 nn 个 kk 边形数为 N(n,k)N(n, k)（k⩾3k \geqslant 3），以下列出了部分 kk 边形数中第 nn 个数的表达式：
三角形数 N(n,3)=12n2+12nN(n, 3) = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n， 正方形数 N(n,4)=n2N(n, 4) = n^2， 五边形数 N(n,5)=32n2−12nN(n, 5) = \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n， 六边形数 N(n,6)=2n2−nN(n, 6) = 2n^2 - n， ……
可以推测 N(n,k)N(n, k) 的表达式，由此计算 N(10,24)=‾N(10, 24) =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，圆 OO 上一点 CC 在直径 ABAB 上的射影为 DD，点 DD 在半径 OCOC 上的射影为 EE，若 AB=3ADAB = 3AD，则 CEEO\dfrac{CE}{EO} 的值为______.

2013 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 CC 的参数方程为
{x=acos⁡φ,y=bsin⁡φ,\begin{cases} x = a\cos\varphi,\\ y = b\sin\varphi, \end{cases}
（φ\varphi 为参数，a>b>0a > b > 0），在极坐标系（与直角坐标系 xOyxOy 取相同的长度单位，且以原点 OO 为极点，以 xx 轴正半轴为极轴）中，直线 ll 与圆 OO 的极坐标方程分别为 ρsin⁡(θ+π4)=22m\rho\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}m（mm 为非零常数）与 ρ=b\rho = b，若直线 ll 经过椭圆 CC 的焦点，且与圆 OO 相切，则椭圆 CC 的离心率为______.

2013 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 对应的边分别是 aa，bb，cc. 已知 cos⁡2A−3cos⁡(B+C)=1\cos 2A - 3\cos (B + C) = 1.
(1) 求角 AA 的大小； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积 S=53S = 5\sqrt{3}，b=5b = 5，求 sin⁡Bsin⁡C\sin B \sin C 的值.

2013 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_{n}\} 满足：∣a2−a3∣=10\left|a_2 - a_3\right| = 10，a1a2a3=125a_1a_2a_3 = 125.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 是否存在正整数 mm，使得 1a1+1a2+⋯+1am⩾1\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_m} \geqslant 1. 若存在，求 mm 的最小值；若不存在，说明理由.

2013 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，点 CC 是圆 OO 上异于 AA，BB 的点，直线 PC⊥PC \perp 平面 ABCABC，EE，FF 分别是 PAPA，PCPC 的中点.
(1) 记平面 BEFBEF 与平面 ABCABC 的交线为 ll，试判断直线 ll 与平面 PAC 的位置关系，并加以证明； (2) 设 （1） 中的直线 ll 与圆 OO 的另一个交点为 DD，且点 QQ 满足 DQ→=12CP→\overrightarrow{DQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CP}，记直线 PQPQ 与平面 ABCABC 所成的角为 θ\theta，异面直线 PQPQ 与 EFEF 所成的角为 α\alpha，二面角 E−l−CE - l - C 的大小为 β\beta，求证： sin⁡θ=sin⁡αsin⁡β\sin \theta = \sin \alpha \sin \beta.

2013 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
假设每天从甲地去乙地的旅客人数 XX 是服从正态分布 N(800,502)N(800,50^{2}) 的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 P0P_{0}.
(1) 求 P0P_{0} 的值；（参考数据：若 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^{2})，有 P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6826P(\mu - \sigma < X \leqslant \mu + \sigma) = 0.6826，P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9544P(\mu - 2\sigma < X \leqslant \mu + 2\sigma) = 0.9544，P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9974P(\mu - 3\sigma < X \leqslant \mu + 3\sigma) = 0.9974） (2) 某客运公司用 AA，BB 两种型号的车辆承担甲，乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，AA，BB 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 BB 型车不多于 AA 型车 7 辆. 若每天要以不小于 p0p_0 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 AA 型车，BB 型车各多少辆？

2013 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1C_1 与 C2C_2 的中心在坐标原点 OO，长轴均为 MNMN 且在 xx 轴上，短轴长分别为 2m2m，2n2n（m>nm > n），过原点且不与 xx 轴重合的直线 ll 与 C1C_1，C2C_2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 AA，BB，CC，DD，记 λ=mn\lambda = \frac{m}{n}，△BDM\triangle BDM 和 △ABN\triangle ABN 的面积分别为 S1S_1 和 S2S_2.
(1) 当直线 ll 与 yy 轴重合时，若 S1=λS2S_{1} = \lambda S_{2}，求 λ\lambda 的值； (2) 当 λ\lambda 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 ll 使得 S1=λS2S_{1} = \lambda S_{2} 并说明理由.

2013 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设 nn 为正整数，rr 为正有理数.
(1) 求函数 f(x)=(1+x)r+1−(r+1)x−1f(x) = (1 + x)^{r + 1} - (r + 1)x - 1（x>−1x > -1）的最小值； (2) 证明： nr+1−(n−1)r+1r+1<nr<(n+1)r+1−nr+1r+1\frac{n^{r+1} - (n-1)^{r+1}}{r+1} < n^{r} < \frac{(n+1)^{r+1} - n^{r+1}}{r+1}； (3) 设 x∈Rx \in \mathbf{R}，记 [x][x] 为不小于 xx 的最小整数，例如 [2]=2[2] = 2，[π]=4[\pi] = 4，[3−2]=−1\left[\frac{3}{-2}\right] = -1. 令 S=813+823+833+⋯+1253S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + \cdots + \sqrt[3]{125}，求 [S][S] 的值.（参考数据： 8043≈344.780^{\frac{4}{3}} \approx 344.7，8143≈350.581^{\frac{4}{3}} \approx 350.5，12443≈618.3124^{\frac{4}{3}} \approx 618.3，12643≈631.7126^{\frac{4}{3}} \approx 631.7）

2013 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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