设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数. 定义性质 $P$：若对任意 $x_1$，$x_2\in\mathbf{R}$，当 $|x_1|<|x_2|$ 时，$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 具有“性质 $P$”.

(1) 判断函数 $f(x)=\mathrm{e}^x$ 是否具有“性质 $P$”； (2) 若分段函数 具有“性质 $P$”，求所有满足条件的实数 $a$，$b$； (3) 已知 $f(x)$ 的值域为 $[0,1)$，且在 $[0,+\infty)$ 上是严格增函数，证明：$f(x)$ 是偶函数的充要条件是 $f(x)$ 具有“性质 $P$”.