在直角坐标系中，有椭圆 $I$ 和抛物线 $II$，它们的参数方程分别是 $I$：（$m$ 是常数，$\phi$ 是参数）；$II$：（$t$ 是参数）.

(1) 求证：当 $m=4$ 时，椭圆 $I$ 有一个焦点和一条准线分别与抛物线 $II$ 的焦点和准线重合. (2) 求证：当且仅当 $m \in [-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}]$ 时，椭圆 $I$ 与抛物线 $II$ 有交点. (3) 在区间 $[-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}]$ 中有哪些 $m$ 值，使得椭圆 $I$ 和抛物线 $II$ 的交点与坐标原点的距离等于这个交点与椭圆 $I$ 的中心的距离？