已知常数 $a > 0$，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$BC = 4a$，$O$ 为 $AB$ 的中点. 点 $E$，$F$，$G$ 分别在 $BC$，$CD$，$DA$ 上移动，且 $\frac{BE}{BC} = \frac{CF}{CD} = \frac{DG}{DA}$，$P$ 为 $GE$ 与 $OF$ 的交点（如图），问是否存在两个定点，使 $P$ 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

设 $a_0$ 为常数，且 $a_n = 3^{n-1} - 2a_{n-1}$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) 证明对任意 $n \geqslant 1$，$a_n = \frac{1}{5}\left(3^n + (-1)^{n-1} \cdot 2^n\right) + (-1)^n \cdot 2^n a_0$； (2) 假设对任意 $n \geqslant 1$ 有 $a_n > a_{n-1}$，求 $a_0$ 的取值范围.