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01解析几何★★☆☆☆
在同一坐标系中，表示直线 y=axy = ax 与 y=x+ay = x + a 正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.

2003 · 粤桂 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★★☆☆☆
已知 x∈(−π2,0)x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)，cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}，则 tan⁡2x=\tan 2x =（ ）
A.
724\frac{7}{24}
B.
−724-\frac{7}{24}
C.
247\frac{24}{7}
D.
−247-\frac{24}{7}

2003 · 粤桂 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★★☆☆
圆锥曲线 ρ=8sin⁡θcos⁡2θ\rho = \frac{8\sin\theta}{\cos^2\theta} 的准线方程是（ ）
A.
ρcos⁡θ=−2\rho \cos \theta = -2
B.
ρcos⁡θ=2\rho \cos \theta = 2
C.
ρsin⁡θ=−2\rho \sin \theta = -2
D.
ρsin⁡θ=2\rho \sin \theta = 2

2003 · 粤桂 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★☆☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，已知 a1=13a_1 = \frac{1}{3}，a2+a5=4a_2 + a_5 = 4，an=33a_n = 33，则 nn 为（ ）
A.
4848
B.
4949
C.
5050
D.
5151

2003 · 粤桂 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
双曲线虚轴的一个端点为 MM，两个焦点为 F1F_{1}，F2F_{2}，∠F1MF2=120∘\angle F_{1}MF_{2} = 120^{\circ}，则双曲线的离心率为（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
62\frac{\sqrt{6}}{2}
C.
63\frac{\sqrt{6}}{3}
D.
33\frac{\sqrt{3}}{3}

2003 · 粤桂 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={2−x−1,x⩽0,x12,x>0,f(x) = \begin{cases} 2^{-x} - 1, & x \leqslant 0,\\ x^{\frac{1}{2}}, & x > 0, \end{cases}
若 f(x0)>1f(x_0) > 1，则 x0x_0 的取值范围是（ ）
A.
(−1,1)(-1, 1)
B.
(−1,+∞)(-1, +\infty)
C.
(−∞,−2)∪(0,+∞)(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)

2003 · 粤桂 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
函数 y=2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)y = 2\sin x (\sin x + \cos x) 的最大值为（ ）
A.
1+21 + \sqrt{2}
B.
2−1\sqrt{2} - 1
C.
2\sqrt{2}
D.
22

2003 · 粤桂 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
已知圆 C:(x−a)2+(y−2)2=4C: (x - a)^2 + (y - 2)^2 = 4（a>0a > 0）及直线 l:x−y+3=0l: x - y + 3 = 0，当直线 ll 被 CC 截得的弦长为 232\sqrt{3} 时，aa 的值等于（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
2−22 - \sqrt{2}
C.
2−1\sqrt{2} - 1
D.
2+1\sqrt{2} + 1

2003 · 粤桂 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的底面半径为 RR，高为 3R3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A.
2πR22\pi R^2
B.
94πR2\frac{9}{4}\pi R^2
C.
83πR2\frac{8}{3}\pi R^2
D.
32πR2\frac{3}{2}\pi R^2

2003 · 粤桂 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x，x∈[π2,3π2]x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] 的反函数 f−1(x)=f^{-1}(x) =（ ）
A.
−arcsin⁡x-\arcsin x，x∈[−1,1]x \in [-1,1]
B.
−π−arcsin⁡x-\pi - \arcsin x，x∈[−1,1]x \in [-1,1]
C.
π+arcsin⁡x\pi + \arcsin x，x∈[−1,1]x \in [-1,1]
D.
−π−arcsin⁡x-\pi - \arcsin x，x∈[−1,1]x \in [-1,1]

2003 · 粤桂 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
已知长方形的四个顶点 A(0,0)A(0,0)，B(2,0)B(2,0)，C(2,1)C(2,1) 和 D(0,1)D(0,1)，一质点从 ABAB 的中点 P0P_{0} 沿与 ABAB 的夹角 θ\theta 的方向射到 BCBC 上的点 P1P_{1} 后，依次反射到 CDCD，DADA 和 ABAB 上的点 P2P_{2}，P3P_{3} 和 P4P_{4}（入射角等于反射角）. 设 P4P_{4} 的坐标为 (x4,0)(x_{4},0)，若 1<x4<21 < x_{4} < 2，则 tan⁡θ\tan \theta 的取值范围是（ ）
A.
(13,1)\left(\frac{1}{3}, 1\right)
B.
(13,23)\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)
C.
(25,12)\left(\frac{2}{5}, \frac{1}{2}\right)
D.
(25,35)\left(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)

2003 · 粤桂 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的所有棱长都为 2\sqrt{2}，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A.
3π3\pi
B.
4π4\pi
C.
33π3\sqrt{3}\pi
D.
6π6\pi

2003 · 粤桂 · 第 12 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
不等式 4x−x2<x\sqrt{4x - x^{2}} < x 的解集是______.

2003 · 粤桂 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−12x)9\left(x^{2} - \frac{1}{2x}\right)^{9} 的展开式中 x9x^{9} 系数是______.

2003 · 粤桂 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
在平面几何里，有勾股定理：“设 △ABC\triangle ABC 的两边 ABAB，ACAC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2AB^2 + AC^2 = BC^2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A−BCDA-BCD 的三个侧面 ABCABC，ACDACD，ADBADB 两两互相垂直，则______.”

2003 · 粤桂 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
如图，一个地区分为 55 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 44 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种.（以数字作答）

2003 · 粤桂 · 第 16 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，AB=1AB = 1，AA1=2AA_{1} = 2，EE 为 CC1CC_{1} 中点，FF 为 BD1BD_{1} 中点.
(1) 证明：EFEF 为 BD1BD_{1} 与 CC1CC_{1} 的公垂线； (2) 求点 D1D_{1} 到面 BDEBDE 的距离.

2003 · 粤桂 · 第 17 题 · 解答题

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18复数★★★☆☆
已知复数 zz 的辐角为 60∘60^{\circ}，且 ∣z−1∣|z - 1| 是 ∣z∣|z| 和 ∣z−2∣|z - 2| 的等比中项，求 ∣z∣|z|.

2003 · 粤桂 · 第 18 题 · 解答题

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19指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 c>0c > 0，设 PP：函数 y=cxy = c^{x} 在 R\mathbf{R} 上单调递减；QQ：不等式 x+∣x−2c∣>1x + |x - 2c| > 1 的解集为 R\mathbf{R}. 如果 PP 和 QQ 有且仅有一个正确，求 cc 的取值范围.

2003 · 粤桂 · 第 19 题 · 解答题

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20三角函数★★★★☆
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 OO（如图）的东偏南 θ\theta（θ=arccos⁡210\theta = \arccos \frac{\sqrt{2}}{10}）方向 300 km300 \mathrm{~km} 的海面 PP 处，并以 20 km/h20 \mathrm{~km}/\mathrm{h} 的速度向西偏北 45∘45^{\circ} 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km60 \mathrm{~km}，并以 10 km/h10 \mathrm{~km}/\mathrm{h} 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

2003 · 粤桂 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知常数 a>0a > 0，在矩形 ABCDABCD 中，AB=4AB = 4，BC=4aBC = 4a，OO 为 ABAB 的中点. 点 EE，FF，GG 分别在 BCBC，CDCD，DADA 上移动，且 BEBC=CFCD=DGDA\frac{BE}{BC} = \frac{CF}{CD} = \frac{DG}{DA}，PP 为 GEGE 与 OFOF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使 PP 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

2003 · 粤桂 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
设 a0a_0 为常数，且 an=3n−1−2an−1a_n = 3^{n-1} - 2a_{n-1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 证明对任意 n⩾1n \geqslant 1，an=15(3n+(−1)n−1⋅2n)+(−1)n⋅2na0a_n = \frac{1}{5}\left(3^n + (-1)^{n-1} \cdot 2^n\right) + (-1)^n \cdot 2^n a_0； (2) 假设对任意 n⩾1n \geqslant 1 有 an>an−1a_n > a_{n-1}，求 a0a_0 的取值范围.

2003 · 粤桂 · 第 22 题 · 解答题

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