已知函数 （$a>0$，且 $a\neq1$）在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，且关于 $x$ 的方程 $\lvert f(x)\rvert=2-x$ 恰好有两个不相等的实数解，则 $a$ 的取值范围是（ ）

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3}=1$（$a>\sqrt3$）的右焦点为 $F$，右顶点为 $A$，已知 $\dfrac1{\lvert OF\rvert}+\dfrac1{\lvert OA\rvert}=\dfrac{3e}{\lvert FA\rvert}$，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆交于点 $B$（$B$ 不在 $x$ 轴上），垂直于 $l$ 的直线与 $l$ 交于点 $M$，与 $y$ 轴交于点 $H$. 若 $BF\perp HF$，且 $\angle MOA\le\angle MAO$，求直线 $l$ 的斜率的取值范围.

设函数 $f(x)=(x-1)^3-ax-b$（$x\in\mathbf{R}$，其中 $a$，$b\in\mathbf{R}$）.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若 $f(x)$ 存在极值点 $x_0$，且 $f(x_1)=f(x_0)$，其中 $x_1\neq x_0$，求证：$x_1+2x_0=3$； (3) 设 $a>0$，函数 $g(x)=\lvert f(x)\rvert$，求证：$g(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值不小于 $\dfrac14$.