设 $N=2^n$（$n\in\mathbf{N}^*$，$n\geqslant2$），将 $N$ 个数 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_N$ 依次放入编号为 $1$，$2$，$\cdots$，$N$ 的 $N$ 个位置，得到排列 $P_0=x_1x_2\cdots x_N$. 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 $\frac{N}{2}$ 和后 $\frac{N}{2}$ 个位置，得到排列 $P_1=x_1x_3\cdots x_{N-1}x_2x_4\cdots x_N$，将此操作称为 $C$ 变换. 将 $P_1$ 分成两段，每段 $\frac{N}{2}$ 个数，并对每段作 $C$ 变换，得到 $P_2$；当 $2\leqslant i\leqslant n-2$ 时，将 $P_i$ 分成 $2^i$ 段，每段 $\frac{N}{2^i}$ 个数，并对每段作 $C$ 变换，得到 $P_{i+1}$. 例如，当 $N=8$ 时，$P_2=x_1x_5x_3x_7x_2x_6x_4x_8$，此时 $x_7$ 位于 $P_2$ 中的第 $4$ 个位置.

(1) 当 $N=16$ 时，$x_7$ 位于 $P_2$ 中的第______个位置； (2) 当 $N=2^n$（$n\geqslant8$）时，$x_{173}$ 位于 $P_4$ 中的第______个位置.

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{ax}-x$，其中 $a\neq0$.

(1) 若对一切 $x\in\mathbf{R}$，$f(x)\geqslant1$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合； (2) 在函数 $f(x)$ 的图象上取定两点 $A(x_1,f(x_1))$，$B(x_2,f(x_2))$（$x_1<x_2$），记直线 $AB$ 的斜率为 $k$. 问：是否存在 $x_0\in(x_1,x_2)$，使 $f'(x_0)>k$ 成立？若存在，求 $x_0$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 若 $a<0$，则当 $x\to+\infty$ 时，$\mathrm{e}^{ax}\to0$，从而 不可能恒有 $f(x)\geqslant1$. 所以必须 $a>0$.

当 $a>0$ 时， $f'(x)=a\mathrm{e}^{ax}-1$，$f''(x)=a^2\mathrm{e}^{ax}>0$. 因此 $f$ 在唯一的极小点 $a\mathrm{e}^{ax}=1$，$\Longrightarrow$，$x=-\frac{\ln a}{a}$ 处取得最小值. 代入得 故题设条件等价于 令 $h(a)=a-1-\ln a$，则 $h'(a)=1-\frac1a$，$h(1)=0$. 函数 $h$ 在 $a=1$ 处取得最小值 $0$，所以 $h(a)\geqslant0$，且等号仅在 $a=1$ 时成立. 因而

\item 记 由 $a\neq0$，有 $\frac{D}{a}>0$. 又函数 $g(x)=a\mathrm{e}^{ax}$ 满足 所以 $g$ 严格递增. 由拉格朗日中值定理，存在唯一的 $c\in(x_1,x_2)$，使 解得 另一方面，直线 $AB$ 的斜率为 而 因此 在 $x\in(x_1,x_2)$ 内，所有满足条件的 $x_0$ 构成区间 所以这样的 $x_0$ 存在. \end{enumerate} \end{solution}