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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 M={−1,0,1}M=\{-1,0,1\}，N={x∣x2⩽x}N=\{x\mid x^2\leqslant x\}，则 M∩N=M\cap N=（ ）
A.
{0}\{0\}
B.
{0,1}\{0,1\}
C.
{−1,1}\{-1,1\}
D.
{−1,0,1}\{-1,0,1\}

2012 · 湖南 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“若 α=π4\alpha=\frac{\pi}{4}，则 tan⁡α=1\tan\alpha=1”的逆否命题是（ ）
A.
若 α≠π4\alpha\neq\frac{\pi}{4}，则 tan⁡α≠1\tan\alpha\neq1
B.
若 α=π4\alpha=\frac{\pi}{4}，则 tan⁡α≠1\tan\alpha\neq1
C.
若 tan⁡α≠1\tan\alpha\neq1，则 α≠π4\alpha\neq\frac{\pi}{4}
D.
若 tan⁡α≠1\tan\alpha\neq1，则 α=π4\alpha=\frac{\pi}{4}

2012 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★★☆☆
某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2012 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★☆☆☆☆
设某大学的女生体重 yy（单位：kg\mathrm{kg}）与身高 xx（单位：cm\mathrm{cm}）具有线性相关关系，根据一组样本数据 (xi,yi)(x_i,y_i)（i=1i=1，22，⋯\cdots，nn），用最小二乘法建立的回归方程为 y^=0.85x−85.71\hat{y}=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A.
yy 与 xx 具有正的线性相关关系
B.
回归直线过样本点的中心 (x‾,y‾)(\overline{x},\overline{y})
C.
若该大学某女生身高增加 1 cm1\,\mathrm{cm}，则其体重约增加 0.85 kg0.85\,\mathrm{kg}
D.
若该大学某女生身高为 170 cm170\,\mathrm{cm}，则可断定其体重必为 58.79 kg58.79\,\mathrm{kg}

2012 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 的焦距为 1010，点 P(2,1)P(2,1) 在 CC 的渐近线上，则 CC 的方程为（ ）
A.
x220−y25=1\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1
B.
x25−y220=1\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1
C.
x280−y220=1\frac{x^2}{80}-\frac{y^2}{20}=1
D.
x220−y280=1\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{80}=1

2012 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡x−cos⁡(x+π6)f(x)=\sin x-\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) 的值域为（ ）
A.
[−2,2][-2,2]
B.
[−3,3][-\sqrt{3},\sqrt{3}]
C.
[−1,1][-1,1]
D.
[−32,32]\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right]

2012 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=2AB=2，AC=3AC=3，AB→⋅BC→=1\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=1，则 BC=BC=（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
7\sqrt{7}
C.
222\sqrt{2}
D.
23\sqrt{23}

2012 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★★★☆
已知两条直线 l1:y=ml_1:y=m 和 l2:y=82m+1l_2:y=\frac{8}{2m+1}（m>0m>0），l1l_1 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 AA，BB，l2l_2 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 CC，DD. 记线段 ACAC 和 BDBD 在 xx 轴上的投影长度分别为 aa，bb. 当 mm 变化时，ba\frac{b}{a} 的最小值为（ ）
A.
16216\sqrt{2}
B.
828\sqrt{2}
C.
8438\sqrt[3]{4}
D.
4434\sqrt[3]{4}

2012 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知曲线
C1:{x=t+1,y=1−2t,C_1:\begin{cases} x=t+1,\\ y=1-2t, \end{cases}
（tt 为参数）与曲线
C2:{x=asin⁡θ,y=3cos⁡θ,C_2:\begin{cases} x=a\sin\theta,\\ y=3\cos\theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数，a>0a>0）有一个公共点在 xx 轴上，则 a=a=______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★☆☆☆
不等式 ∣2x+1∣−2∣x−1∣>0|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
如图，过点 PP 的直线与 ⊙O\odot O 相交于 AA，BB 两点. 若 PA=1PA=1，AB=2AB=2，PO=3PO=3，则 ⊙O\odot O 的半径等于______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12复数★☆☆☆☆
已知复数 z=(3+i)2z=(3+\mathrm{i})^2（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 ∣z∣=|z|=______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−1x)6\left(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6 的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答）

2012 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
如果执行如图所示的程序框图，输入 x=−1x=-1，n=3n=3，则输出的数 S=S=______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi) 的导函数 y=f′(x)y=f'(x) 的部分图象如图所示，其中，PP 为图象与 yy 轴的交点，AA，CC 为图象与 xx 轴的两个交点，BB 为图象的最低点.
(1) 若 φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}，点 PP 的坐标为 (0,332)\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)，则 ω=\omega=______. (2) 若在曲线段 ABC⌢\overset{\frown}{ABC} 与 xx 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 △ABC\triangle ABC 内的概率为______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★★
设 N=2nN=2^n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，n⩾2n\geqslant2），将 NN 个数 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xNx_N 依次放入编号为 11，22，⋯\cdots，NN 的 NN 个位置，得到排列 P0=x1x2⋯xNP_0=x_1x_2\cdots x_N. 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 N2\frac{N}{2} 和后 N2\frac{N}{2} 个位置，得到排列 P1=x1x3⋯xN−1x2x4⋯xNP_1=x_1x_3\cdots x_{N-1}x_2x_4\cdots x_N，将此操作称为 CC 变换. 将 P1P_1 分成两段，每段 N2\frac{N}{2} 个数，并对每段作 CC 变换，得到 P2P_2；当 2⩽i⩽n−22\leqslant i\leqslant n-2 时，将 PiP_i 分成 2i2^i 段，每段 N2i\frac{N}{2^i} 个数，并对每段作 CC 变换，得到 Pi+1P_{i+1}. 例如，当 N=8N=8 时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8P_2=x_1x_5x_3x_7x_2x_6x_4x_8，此时 x7x_7 位于 P2P_2 中的第 44 个位置.
(1) 当 N=16N=16 时，x7x_7 位于 P2P_2 中的第______个位置； (2) 当 N=2nN=2^n（n⩾8n\geqslant8）时，x173x_{173} 位于 P4P_4 中的第______个位置.

2012 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100100 位顾客的相关数据，如下表所示.
已知这 100100 位顾客中一次购物量超过 88 件的顾客占 55%55\%.
(1) 确定 xx，yy 的值，并求顾客一次购物的结算时间 XX 的分布列与数学期望； (2) 若某顾客到达收银台时前面恰有 22 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 2.52.5 分钟的概率.（注：将频率视为概率）
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由一次购物量超过 88 件的顾客占 55%55\%，得
25+y+10=100×55%=5525+y+10=100\times55\%=55
所以 y=20y=20. 再由顾客总数为 100100，得
x+30+25+20+10=100x+30+25+20+10=100
从而 x=15x=15.
结算时间 XX 的可能取值及其频率如下： \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline XX&11&1.51.5&22&2.52.5&33\ \hline PP&15100\frac{15}{100}&30100\frac{30}{100}&25100\frac{25}{100}&20100\frac{20}{100}&10100\frac{10}{100}\ \hline \end{tabular} \end{center} 即 P(X=1)=320P(X=1)=\frac3{20}，P(X=1.5)=310P(X=1.5)=\frac3{10}，P(X=2)=14P(X=2)=\frac14，P(X=2.5)=15P(X=2.5)=\frac15，P(X=3)=110P(X=3)=\frac1{10}. 因此
E(X)=1⋅320+1.5⋅310+2⋅14+2.5⋅15+3⋅110=1.9E(X)=1\cdot\frac3{20}+1.5\cdot\frac3{10}+2\cdot\frac14 +2.5\cdot\frac15+3\cdot\frac1{10}=1.9
\item 设前面的两位顾客结算时间分别为 X1X_1，X2X_2. 由独立性， 等候时间不超过 2.52.5 分钟的事件为 (X1,X2)=(1,1)(X_1,X_2)=(1,1)，(1,1.5)(1,1.5)，(1.5,1)(1.5,1). 所以所求概率为
P(X1+X2⩽2.5)=(320)2+2⋅320⋅310=9400+18200=980P(X_1+X_2\leqslant2.5)=\left(\frac3{20}\right)^2 +2\cdot\frac3{20}\cdot\frac3{10} =\frac9{400}+\frac{18}{200} =\frac9{80}
\end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，AB=4AB=4，BC=3BC=3，AD=5AD=5，∠DAB=∠ABC=90∘\angle DAB=\angle ABC=90^\circ，EE 是 CDCD 的中点.
(1) 证明：CD⊥CD\perp 平面 PAEPAE； (2) 若直线 PBPB 与平面 PAEPAE 所成的角和 PBPB 与平面 ABCDABCD 所成的角相等，求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在底面 ABCDABCD 中，取 A(0,0,0)A(0,0,0)、B(4,0,0)B(4,0,0)、C(4,3,0)C(4,3,0)、D(0,5,0)D(0,5,0) 为各点坐标. 因为 EE 是 CDCD 的中点，所以 E(2,4,0)E(2,4,0). 从而 CD→=(−4,2,0)\overrightarrow{CD}=(-4,2,0)，AE→=(2,4,0)\overrightarrow{AE}=(2,4,0)， 且
CD→⋅AE→=−8+8=0\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AE}=-8+8=0
又因为 PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，所以 CD⊥PACD\perp PA. 直线 PAPA 与 AEAE 相交且都在平面 PAEPAE 内，直线 CDCD 垂直于这两条相交直线，故
CD⊥平面 PAECD\perp\text{平面 }PAE
\item 设 PA=hPA=h，则 P(0,0,h)P(0,0,h). 梯形 ABCDABCD 的面积为
SABCD=AD+BC2⋅AB=5+32⋅4=16S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot AB =\frac{5+3}{2}\cdot4=16
设直线 PBPB 与平面 PAEPAE、平面 ABCDABCD 所成的角分别为 α\alpha，β\beta. 平面 PAEPAE 的一个法向量可取
AP→×AE→=(−4h,2h,0)\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AE} =(-4h,2h,0)
而 PB→=(4,0,−h)\overrightarrow{PB}=(4,0,-h)，∣PB∣=h2+16|PB|=\sqrt{h^2+16}. 因此
sin⁡α=∣PB→⋅(AP→×AE→)∣∣PB∣ ∣AP→×AE→∣=85h2+16\sin\alpha =\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AE})|} {|PB|\,|\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AE}|} =\frac{8}{\sqrt5\sqrt{h^2+16}}
直线 PBPB 与底面所成角满足
sin⁡β=PAPB=hh2+16\sin\beta=\frac{PA}{PB}=\frac{h}{\sqrt{h^2+16}}
题设 α=β\alpha=\beta，且两角均为锐角或直角，故正弦相等，得 85h2+16=hh2+16\frac{8}{\sqrt5\sqrt{h^2+16}} =\frac{h}{\sqrt{h^2+16}}，h=85h=\frac8{\sqrt5}. 所以四棱锥体积为
V=13SABCD⋅PA=13⋅16⋅85=128515V=\frac13S_{ABCD}\cdot PA =\frac13\cdot16\cdot\frac8{\sqrt5} =\frac{128\sqrt5}{15}
\end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，记 A(n)=a1+a2+⋯+anA(n)=a_1+a_2+\cdots+a_n，B(n)=a2+a3+⋯+an+1B(n)=a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}，C(n)=a3+a4+⋯+an+2C(n)=a_3+a_4+\cdots+a_{n+2}，n=1n=1，22，⋯\cdots.
(1) 若 a1=1a_1=1，a2=5a_2=5，且对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，三个数 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 组成等差数列，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：数列 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列的充分必要条件是：对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，三个数 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 组成公比为 qq 的等比数列.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对任意 nn，由 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 成等差数列，有
A(n)+C(n)=2B(n)A(n)+C(n)=2B(n)
代入三组和式并消去公共项，得到
a1−an+1=a2−an+2a_1-a_{n+1}=a_2-a_{n+2}
即
an+2−an+1=a2−a1=4a_{n+2}-a_{n+1}=a_2-a_1=4
所以数列从第一项开始公差为 44，结合 a1=1a_1=1，得
an=a1+(n−1)⋅4=4n−3a_n=a_1+(n-1)\cdot4=4n-3
\item 先证必要性. 若 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列，则 B(n)=qA(n)B(n)=qA(n)，C(n)=qB(n)=q2A(n)C(n)=qB(n)=q^2A(n). 故 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 成公比为 qq 的等比数列.
再证充分性. 已知对任意 nn， B(n)=qA(n)B(n)=qA(n)，C(n)=qB(n)C(n)=qB(n). 取相邻两式相减. 由 B(n)−B(n−1)=an+1B(n)-B(n-1)=a_{n+1}，以及
A(n)−A(n−1)=anA(n)-A(n-1)=a_n
对 n⩾2n\geqslant2 有
an+1=B(n)−B(n−1)=q(A(n)−A(n−1))=qana_{n+1}=B(n)-B(n-1) =q\bigl(A(n)-A(n-1)\bigr) =qa_n
当 n=1n=1 时，B(1)=qA(1)B(1)=qA(1) 给出 a2=qa1a_2=qa_1. 因而对所有 n⩾1n\geqslant1 都有 an+1=qana_{n+1}=qa_n，所以 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列. 必要性与充分性均成立. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
某企业接到生产 30003000 台某产品的 AA，BB，CC 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 22，22，11（单位：件）. 已知每个工人每天可生产 AA 部件 66 件，或 BB 部件 33 件，或 CC 部件 22 件. 该企业计划安排 200200 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 BB 部件的人数与生产 AA 部件的人数成正比，比例系数为 kk（kk 为正整数）.
(1) 设生产 AA 部件的人数为 xx，分别写出完成 AA，BB，CC 三种部件生产需要的时间； (2) 假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 kk 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 生产三种部件分别需要 TA(x)=3000⋅26x=1000xT_A(x)=\frac{3000\cdot2}{6x}=\frac{1000}{x}，TB(x)=3000⋅23kx=2000kxT_B(x)=\frac{3000\cdot2}{3kx}=\frac{2000}{kx}
TC(x)=30002[200−(1+k)x]=1500200−(1+k)xT_C(x)=\frac{3000}{2[200-(1+k)x]} =\frac{1500}{200-(1+k)x}
其中 x∈N∗x\in\mathbf N^*，且 (1+k)x<200(1+k)x<200.
\item 完成订单所需时间为
T=max⁡{TA(x),TB(x),TC(x)}T=\max\{T_A(x),T_B(x),T_C(x)\}
先考察 k=1k=1. 当 x⩽72x\leqslant72 时，
T⩾TB(x)=2000x⩾200072=2509T\geqslant T_B(x)=\frac{2000}{x}\geqslant\frac{2000}{72}=\frac{250}{9}
当 x⩾73x\geqslant73 时，200−2x⩽54200-2x\leqslant54，故
T⩾TC(x)=1500200−2x⩾150054=2509T\geqslant T_C(x)=\frac{1500}{200-2x}\geqslant\frac{1500}{54}=\frac{250}{9}
当 k=2k=2 时， TA(x)=TB(x)=1000xT_A(x)=T_B(x)=\frac{1000}{x}，TC(x)=1500200−3xT_C(x)=\frac{1500}{200-3x}，x⩽66x\leqslant66. 若 x⩽44x\leqslant44，则
T⩾1000x⩾100044=25011T\geqslant\frac{1000}{x}\geqslant\frac{1000}{44}=\frac{250}{11}
取 x=44x=44 时， TA=TB=25011T_A=T_B=\frac{250}{11}，TC=150068=37517<25011T_C=\frac{1500}{68}=\frac{375}{17}<\frac{250}{11}. 若 x⩾45x\geqslant45，则
T⩾TC(x)⩾1500200−3⋅45=30013>25011T\geqslant T_C(x)\geqslant\frac{1500}{200-3\cdot45} =\frac{300}{13}>\frac{250}{11}
所以 k=2k=2 时最小时间为 25011\frac{250}{11}，人数分组为 x=44x=44，kx=88kx=88，200−(1+k)x=68200-(1+k)x=68.
最后考察 k⩾3k\geqslant3. 此时 TB(x)⩽TA(x)T_B(x)\leqslant T_A(x)，且可行的 xx 范围包含在 k=3k=3 的可行范围内，而 TC(x)T_C(x) 随 kk 增大而不减. 对 k=3k=3，若 x⩽36x\leqslant36，则
T⩾TA(x)⩾100036=2509T\geqslant T_A(x)\geqslant\frac{1000}{36}=\frac{250}{9}
若 x⩾37x\geqslant37，则
T⩾TC(x)⩾1500200−4⋅37=37513>2509T\geqslant T_C(x)\geqslant\frac{1500}{200-4\cdot37} =\frac{375}{13}>\frac{250}{9}
因此所有 k⩾3k\geqslant3 都有 T⩾2509>25011T\geqslant\frac{250}{9}>\frac{250}{11}. 综上，最优值为 k=2k=2，最短时间为 25011\frac{250}{11} 天，方案为 AA，BB，CC 三组分别 4444，8888，6868 人. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 上的点均在圆 C2:(x−5)2+y2=9C_2:(x-5)^2+y^2=9 外，且对 C1C_1 上任意一点 MM，MM 到直线 x=−2x=-2 的距离等于该点与圆 C2C_2 上点的距离的最小值.
(1) 求曲线 C1C_1 的方程； (2) 设 P(x0,y0)P(x_0,y_0)（y0≠±3y_0\neq\pm3）为圆 C2C_2 外一点，过 PP 作圆 C2C_2 的两条切线，分别与曲线 C1C_1 相交于点 AA，BB 和 CC，DD. 证明：当 PP 在直线 x=−4x=-4 上运动时，四点 AA，BB，CC，DD 的纵坐标之积为定值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 M(x,y)M(x,y) 为 C1C_1 上一点. 因为 MM 在圆 C2C_2 外，MM 到圆上点的最小距离等于 MM 到圆心 O(5,0)O(5,0) 的距离减去半径 33，即
(x−5)2+y2−3\sqrt{(x-5)^2+y^2}-3
题设给出
∣x+2∣=(x−5)2+y2−3|x+2|=\sqrt{(x-5)^2+y^2}-3
若 x⩽−2x\leqslant-2，则 ∣x+2∣=−x−2|x+2|=-x-2，从而
(x−5)2+y2=1−x\sqrt{(x-5)^2+y^2}=1-x
平方得 (x−5)2+y2=(1−x)2(x-5)^2+y^2=(1-x)^2，y2=8x−24<0y^2=8x-24<0 矛盾. 因此 x>−2x>-2，于是 ∣x+2∣=x+2|x+2|=x+2，有
(x−5)2+y2=x+5\sqrt{(x-5)^2+y^2}=x+5
平方整理得 (x−5)2+y2=(x+5)2(x-5)^2+y^2=(x+5)^2，y2=20xy^2=20x. 反之，曲线 y2=20xy^2=20x 上的点满足 x⩾0x\geqslant0，代回等式可验证确在圆外且满足距离条件. 故
C1:y2=20xC_1:y^2=20x
\item 设 P=(−4,y0)P=(-4,y_0)，其中 y0≠±3y_0\neq\pm3. 直线 x=−4x=-4 到圆心的距离为 99，不可能是切线；水平直线 y=y0y=y_0 只有在 y0=±3y_0=\pm3 时才与圆相切，也已被题设排除. 因此两条切线的斜率均为有限非零数，过 PP 的这类直线可写成
y−y0=k(x+4)y-y_0=k(x+4)
将 x=y−y0k−4x=\frac{y-y_0}{k}-4 代入 y2=20xy^2=20x，得
ky2−20y+20y0+80k=0ky^2-20y+20y_0+80k=0
因此该直线与抛物线交点的两个纵坐标之积为
20(y0+4k)k\frac{20(y_0+4k)}{k}
设两条切线的斜率为 k1k_1，k2k_2. 切线与圆
(x−5)2+y2=9(x-5)^2+y^2=9
相切的条件是圆心到直线
kx−y+4k+y0=0kx-y+4k+y_0=0
的距离等于 33，即
∣9k+y0∣k2+1=3\frac{|9k+y_0|}{\sqrt{k^2+1}}=3
平方整理为
72k2+18y0k+y02−9=072k^2+18y_0k+y_0^2-9=0
故 k1+k2=−y04k_1+k_2=-\frac{y_0}{4}，k1k2=y02−972k_1k_2=\frac{y_0^2-9}{72}. 四个交点纵坐标的乘积为
20(y0+4k1)k1⋅20(y0+4k2)k2=400y02+4y0(k1+k2)+16k1k2k1k2\frac{20(y_0+4k_1)}{k_1}\cdot \frac{20(y_0+4k_2)}{k_2} =400\frac{y_0^2+4y_0(k_1+k_2)+16k_1k_2}{k_1k_2}
代入 k1+k2k_1+k_2 与 k1k2k_1k_2，得
4001672(y02−9)y02−972=6400400\frac{\frac{16}{72}(y_0^2-9)} {\frac{y_0^2-9}{72}} =6400
所以该乘积为定值 64006400. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=eax−xf(x)=\mathrm{e}^{ax}-x，其中 a≠0a\neq0.
(1) 若对一切 x∈Rx\in\mathbf{R}，f(x)⩾1f(x)\geqslant1 恒成立，求 aa 的取值集合； (2) 在函数 f(x)f(x) 的图象上取定两点 A(x1,f(x1))A(x_1,f(x_1))，B(x2,f(x2))B(x_2,f(x_2))（x1<x2x_1<x_2），记直线 ABAB 的斜率为 kk. 问：是否存在 x0∈(x1,x2)x_0\in(x_1,x_2)，使 f′(x0)>kf'(x_0)>k 成立？若存在，求 x0x_0 的取值范围；若不存在，请说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 若 a<0a<0，则当 x→+∞x\to+\infty 时，eax→0\mathrm{e}^{ax}\to0，从而
f(x)=eax−x→−∞f(x)=\mathrm{e}^{ax}-x\to-\infty
不可能恒有 f(x)⩾1f(x)\geqslant1. 所以必须 a>0a>0.
当 a>0a>0 时， f′(x)=aeax−1f'(x)=a\mathrm{e}^{ax}-1，f′′(x)=a2eax>0f''(x)=a^2\mathrm{e}^{ax}>0. 因此 ff 在唯一的极小点 aeax=1a\mathrm{e}^{ax}=1，⟹\Longrightarrow，x=−ln⁡aax=-\frac{\ln a}{a} 处取得最小值. 代入得
fmin⁡=1a+ln⁡aa=1+ln⁡aaf_{\min}=\frac1a+\frac{\ln a}{a} =\frac{1+\ln a}{a}
故题设条件等价于
1+ln⁡a⩾a1+\ln a\geqslant a
令 h(a)=a−1−ln⁡ah(a)=a-1-\ln a，则 h′(a)=1−1ah'(a)=1-\frac1a，h(1)=0h(1)=0. 函数 hh 在 a=1a=1 处取得最小值 00，所以 h(a)⩾0h(a)\geqslant0，且等号仅在 a=1a=1 时成立. 因而
a=1a=1
\item 记
D=eax2−eax1x2−x1D=\frac{\mathrm{e}^{ax_2}-\mathrm{e}^{ax_1}}{x_2-x_1}
由 a≠0a\neq0，有 Da>0\frac{D}{a}>0. 又函数 g(x)=aeaxg(x)=a\mathrm{e}^{ax} 满足
g′(x)=a2eax>0g'(x)=a^2\mathrm{e}^{ax}>0
所以 gg 严格递增. 由拉格朗日中值定理，存在唯一的 c∈(x1,x2)c\in(x_1,x_2)，使
aeac=Da\mathrm{e}^{ac}=D
解得
c=1aln⁡eax2−eax1a(x2−x1)c=\frac1a\ln\frac{\mathrm{e}^{ax_2}-\mathrm{e}^{ax_1}}{a(x_2-x_1)}
另一方面，直线 ABAB 的斜率为
k=eax2−eax1x2−x1−1=D−1k=\frac{\mathrm{e}^{ax_2}-\mathrm{e}^{ax_1}}{x_2-x_1}-1=D-1
而
f′(x)=aeax−1=g(x)−1f'(x)=a\mathrm{e}^{ax}-1=g(x)-1
因此
f′(x)>k  ⟺  g(x)>D  ⟺  x>cf'(x)>k \iff g(x)>D \iff x>c
在 x∈(x1,x2)x\in(x_1,x_2) 内，所有满足条件的 x0x_0 构成区间
(1aln⁡eax2−eax1a(x2−x1),x2)\left( \frac1a\ln\frac{\mathrm{e}^{ax_2}-\mathrm{e}^{ax_1}}{a(x_2-x_1)}, x_2 \right)
所以这样的 x0x_0 存在. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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