如图，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个焦点为 $F(1,0)$，且过点 $(2,0)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 若 $AB$ 为垂直于 $x$ 轴的动弦，直线 $l: x = 4$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，直线 $AF$ 与 $BN$ 交于点 $M$.

(i) 求证：点 $M$ 恒在椭圆 $C$ 上； (ii) 求 $\triangle AMN$ 面积的最大值.