已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}$（$n\in\mathbf{N}^*$）， 记数列前 $n$ 项和为 $S_n$. 则（ ）

如图，已知 $F$ 是抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点，$M$ 为该抛物线准线与 $x$ 轴交点，且 $|MF|=2$.

(1) 求抛物线方程； (2) 设过 $F$ 的直线交抛物线于 $A$，$B$，斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与直线 $MA$，$MB$，$AB$，$x$ 轴依次交于 $P$，$Q$，$R$，$N$，且 $|RN|^2=|PN|\cdot|QN|$，求直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距的范围.

设 $a$，$b\in\mathbf{R}$，且 $a>1$，函数 $f(x)=a^x-bx+\mathrm{e}^2$（$x\in\mathbf{R}$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若对任意 $b>2\mathrm{e}^2$，函数 $f(x)$ 有两个不同零点，求 $a$ 的取值范围； (3) 当 $a=\mathrm{e}$ 时，证明：对任意 $b>\mathrm{e}^4$，函数 $f(x)$ 有两个不同零点 $x_1$，$x_2$，使 $x_2>\frac{b\ln b}{2\mathrm{e}^2}x_1+\frac{\mathrm{e}^2}{b}$.