已知 $a > 0$，$b \in \mathbf{R}$，函数 $f(x) = 4ax^3 - 2bx - a + b$.

(1) 证明：当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，

(i) 函数 $f(x)$ 的最大值为 $|2a-b|+a$； (ii) $f(x)+|2a-b|+a\geqslant0$； (2) 若 $-1 \leqslant f(x) \leqslant 1$ 对 $x \in [0,1]$ 恒成立，求 $a+b$ 的取值范围.