如果有穷数列 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_n$（$n$ 为正整数）满足条件 $a_1 = a_n$，$a_2 = a_{n-1}$，$\cdots$，$a_n = a_1$，即 $a_i = a_{n-i+1}$（$i = 1$，$2$，$\cdots$，$n$），我们称其为“对称数列”. 例如，由组合数组成的数列 $\mathrm{C}_m^0$，$\mathrm{C}_m^1$，$\cdots$，$\mathrm{C}_m^m$ 就是“对称数列”.

(1) 设 $\{b_n\}$ 是项数为 7 的“对称数列”，其中 $b_1$，$b_2$，$b_3$，$b_4$ 是等差数列，且 $b_1 = 2$，$b_4 = 11$. 依次写出 $\{b_n\}$ 的每一项； (2) 设 $\{c_n\}$ 是项数为 $2k - 1$（正整数 $k > 1$）的“对称数列”，其中 $c_k$，$c_{k+1}$，$\cdots$，$c_{2k-1}$ 是首项为 50，公差为 $-4$ 的等差数列. 记 $\{c_n\}$ 各项的和为 $S_{2k-1}$. 当 $k$ 为何值时，$S_{2k-1}$ 取得最大值？并求出 $S_{2k-1}$ 的最大值； (3) 对于确定的正整数 $m > 1$，写出所有项数不超过 $2m$ 的“对称数列”，使得 $1$，$2$，$2^2$，$\cdots$，$2^{m-1}$ 依次是该数列中连续的项；当 $m > 1500$ 时，求其中一个“对称数列”前 2008 项的和 $S_{2008}$.

我们把由半椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$x \geqslant 0$）与半椭圆 $\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = 1$（$x \leqslant 0$）合成的曲线称作“果圆”，其中 $a^2 = b^2 + c^2$，$a > 0$，$b > c > 0$. 如图，设点 $F_0$，$F_1$，$F_2$ 是相应椭圆的焦点，$A_1$，$A_2$ 和 $B_1$，$B_2$ 分别是“果圆”与 $x$，$y$ 轴的交点.

(1) 若 $\triangle F_0F_1F_2$ 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程； (2) 当 $\left|A_1A_2\right| > \left|B_1B_2\right|$ 时，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围； (3) 连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦. 试研究：是否存在实数 $k$，使斜率为 $k$ 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 $k$ 值；若不存在，说明理由.