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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=lg⁡(4−x)x−3f(x)=\frac{\lg(4-x)}{x-3} 的定义域是______.

2007 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02解析几何★☆☆☆☆
若直线 l1:2x+my+1=0l_{1}: 2x + my + 1 = 0 与直线 l2:y=3x−1l_{2}: y = 3x - 1 平行，则 m=m =______.

2007 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=xx−1f(x)=\frac{x}{x-1} 的反函数 f−1(x)=f^{-1}(x)=______.

2007 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 9x−6⋅3x−7=09^x - 6 \cdot 3^x - 7 = 0 的解是______.

2007 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05不等式★★☆☆☆
若 xx，y∈R+y \in \mathbf{R}^+，且 x+4y=1x + 4y = 1，则 x⋅yx \cdot y 的最大值是______.

2007 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡(x+π3)sin⁡(x+π2)y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) 的最小正周期 T=T =______.

2007 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07概率与统计★☆☆☆☆
在五个数 11，22，33，44，55 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是______.（结果用数值表示）

2007 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08解析几何★★☆☆☆
以双曲线 x24−y25=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是______.

2007 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09复数★★☆☆☆
对于非零实数 aa，bb，以下四个命题都成立：
① a+1a≠0a + \frac{1}{a} \neq 0； ② (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2； ③ 若 ∣a∣=∣b∣|a| = |b|，则 a=±ba = \pm b； ④ 若 a2=aba^2 = ab，则 a=ba = b.
那么，对于非零复数 aa，bb，仍然成立命题的所有序号是______.

2007 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★★★☆
在平面上，两条直线的位置关系有相交，平行，重合三种. 已知 α\alpha，β\beta 是两个相交平面，空间两条直线 l1l_{1}，l2l_{2} 在 α\alpha 上的射影是直线 s1s_{1}，s2s_{2}，l1l_{1}，l2l_{2} 在 β\beta 上的射影是直线 t1t_{1}，t2t_{2}. 用 s1s_{1} 与 s2s_{2}，t1t_{1} 与 t2t_{2} 的位置关系，写出一个总能确定 l1l_{1} 与 l2l_{2} 是异面直线的充分条件：______.

2007 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★★☆☆
已知 PP 为圆 x2+(y−1)2=1x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 上任意一点（原点 OO 除外），直线 OPOP 的倾斜角为 θ\theta 弧度，记 d=∣OP∣d = |OP|. 在右侧的坐标系中，画出以 (θ,d)(\theta, d) 为坐标的点的轨迹的大致图形为______.

2007 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12复数★★☆☆☆
已知 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，且 2+ai2 + a\mathrm{i}，b+ib + \mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位）是实系数一元二次方程 x2+px+q=0x^{2} + px + q = 0 的两个根，那么 pp，qq 的值分别是（ ）
A.
p=−4,q=5p = -4, q = 5
B.
p=−4p = -4，q=3q = 3
C.
p=4p = 4，q=5q = 5
D.
p=4p = 4，q=3q = 3

2007 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
设 aa，bb 是非零实数，若 a<ba < b，则下列不等式成立的是（ ）
A.
a2<b2a^2 < b^2
B.
ab2<a2bab^{2} < a^{2}b
C.
1ab2<1a2b\frac{1}{ab^2} < \frac{1}{a^2b}
D.
ba<ab\frac{b}{a} < \frac{a}{b}

2007 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14平面向量★★★☆☆
直角坐标系 xOyxOy 中，i\boldsymbol{i}，j\boldsymbol{j} 分别是与 xx，yy 轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形 ABCABC 中，若 AB→=2i+j\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j}，AC→=3i+kj\overrightarrow{AC} = 3\boldsymbol{i} + k\boldsymbol{j}，则 kk 的可能个数是（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2007 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在正整数集上的函数，且 f(x)f(x) 满足：“当 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立时，总可推出 f(k+1)⩾(k+1)2f(k + 1) \geqslant (k + 1)^2 成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）
A.
若 f(3)⩾9f(3) \geqslant 9 成立，则当 k⩾1k \geqslant 1 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立
B.
若 f(5)⩾25f(5) \geqslant 25 成立，则当 k⩽5k \leqslant 5 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立
C.
若 f(7)<49f(7) < 49 成立，则当 k⩾8k \geqslant 8 时，均有 f(k)<k2f(k) < k^2 成立
D.
若 f(4)=25f(4) = 25 成立，则当 k⩾4k \geqslant 4 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立

2007 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在体积为 1 的直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，AC=BC=1AC = BC = 1，求直线 A1BA_{1}B 与平面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C 所成角.（结果用反三角函数值表示）

2007 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别是三个内角 AA，BB，CC 的对边. 若 a=2a = 2，C=π4C = \frac{\pi}{4}，cos⁡B2=255\cos \frac{B}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}，求 △ABC\triangle ABC 的面积 SS.

2007 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★★☆☆
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快. 20022002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦670\text{ 兆瓦}，年生产量的增长率为 34%34\%. 以后 44 年中，年生产量的增长率逐年递增 2%2\%（如，20032003 年的年生产量的增长率为 36%36\%）.
(1) 求 20062006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦0.1\text{ 兆瓦}）； (2) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，20062006 年的实际安装量为 1420 兆瓦1420\text{ 兆瓦}. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%42\%，到 20102010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%95\%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%0.1\%）？

2007 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+axf(x) = x^2 + \frac{a}{x}（x≠0x \neq 0，常数 a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的奇偶性，并说明理由； (2) 若函数 f(x)f(x) 在 x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty) 上为增函数，求 aa 的取值范围.

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20数列★★★★★
如果有穷数列 a1a_1，a2a_2，a3a_3，⋯\cdots，ana_n（nn 为正整数）满足条件 a1=ana_1 = a_n，a2=an−1a_2 = a_{n-1}，⋯\cdots，an=a1a_n = a_1，即 ai=an−i+1a_i = a_{n-i+1}（i=1i = 1，22，⋯\cdots，nn），我们称其为“对称数列”. 例如，由组合数组成的数列 Cm0\mathrm{C}_m^0，Cm1\mathrm{C}_m^1，⋯\cdots，Cmm\mathrm{C}_m^m 就是“对称数列”.
(1) 设 {bn}\{b_n\} 是项数为 7 的“对称数列”，其中 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4b_4 是等差数列，且 b1=2b_1 = 2，b4=11b_4 = 11. 依次写出 {bn}\{b_n\} 的每一项； (2) 设 {cn}\{c_n\} 是项数为 2k−12k - 1（正整数 k>1k > 1）的“对称数列”，其中 ckc_k，ck+1c_{k+1}，⋯\cdots，c2k−1c_{2k-1} 是首项为 50，公差为 −4-4 的等差数列. 记 {cn}\{c_n\} 各项的和为 S2k−1S_{2k-1}. 当 kk 为何值时，S2k−1S_{2k-1} 取得最大值？并求出 S2k−1S_{2k-1} 的最大值； (3) 对于确定的正整数 m>1m > 1，写出所有项数不超过 2m2m 的“对称数列”，使得 11，22，222^2，⋯\cdots，2m−12^{m-1} 依次是该数列中连续的项；当 m>1500m > 1500 时，求其中一个“对称数列”前 2008 项的和 S2008S_{2008}.

2007 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
我们把由半椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（x⩾0x \geqslant 0）与半椭圆 y2b2+x2c2=1\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = 1（x⩽0x \leqslant 0）合成的曲线称作“果圆”，其中 a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2，a>0a > 0，b>c>0b > c > 0. 如图，设点 F0F_0，F1F_1，F2F_2 是相应椭圆的焦点，A1A_1，A2A_2 和 B1B_1，B2B_2 分别是“果圆”与 xx，yy 轴的交点.
(1) 若 △F0F1F2\triangle F_0F_1F_2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程； (2) 当 ∣A1A2∣>∣B1B2∣\left|A_1A_2\right| > \left|B_1B_2\right| 时，求 ba\frac{b}{a} 的取值范围； (3) 连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦. 试研究：是否存在实数 kk，使斜率为 kk 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 kk 值；若不存在，说明理由.

2007 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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