已知空间向量 $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$ 都是单位向量，且 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 的夹角为 $60^\circ$. 若 $P$ 为空间任意一点，且 $\left|\overrightarrow{OP}\right|=1$，满足 $\left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}\right|$，则 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}$ 的最大值为______ .

已知椭圆 $\Gamma:\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{3}=1$ （$m>0$，$\ m\neq \sqrt3$）.

(1) 若 $m=2$，求椭圆 $\Gamma$ 的离心率； (2) 设 $A_1$，$A_2$ 为椭圆 $\Gamma$ 的左右顶点，若椭圆 $\Gamma$ 上一点 $E$ 的纵坐标为 $1$，且 $\overrightarrow{EA_1}\cdot\overrightarrow{EA_2}=-2$，求 $m$ 的值； (3) 若 $P$ 为椭圆 $\Gamma$ 上一点，过点 $P$ 作一条斜率为 $\sqrt3$ 的直线与双曲线 $\frac{y^2}{5m^2}-\frac{x^2}{5}=1$ 仅有一个公共点，求 $m$ 的取值范围.

设函数 $f(x)=ax^3-(a+1)x^2+x$，$g(x)=kx+m$，其中 $a\ge 0$，$k$，$m\in \mathbf{R}$，若任意 $x\in[0,1]$ 均有 $f(x)\le g(x)$，则称函数 $y=g(x)$ 是函数 $y=f(x)$ 的控制函数，且对于所有满足条件的函数 $y=g(x)$ 在 $x$ 处取得的最小值记为 $\bar f(x)$.

(1) 若 $a=2$，$g(x)=x$，试问 $y=g(x)$ 是否为 $y=f(x)$ 的控制函数； (2) 若 $a=0$，使得直线 $y=h(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在 $x=\frac14$ 处的切线，证明：函数 $y=h(x)$ 为函数 $y=f(x)$ 的控制函数，并求 $\bar f\left(\frac14\right)$ 的值； (3) 若曲线 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$（$x_0\in(0,1)$）处的切线过点 $(1,0)$，且 $c\in[x_0,1]$，证明：当且仅当 $c=x_0$ 或 $c=1$ 时，$\bar f(c)=f(c)$.